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Umstellung trigonometrischer Gleichung (Sinus)

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Arcussinus, Körper, Sinus

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10:13 Uhr, 13.11.2013

Hallo,

ich möchte mit folgenden gegebenen Gleichungen und Angaben zu

a, b

und

γ

die fehlenden Seiten und Winkel eines Dreiecks berechnen:

1)

a^2=b^2+c^2-2bcCos(alpha)

2) \frac{a}{sin (α)} = \frac{b}{sin (β)} = \frac{c}{sin (γ)}

3)

alpha+beta+gamma=180°

Als erstes habe ich also

3)

nach alpha=180°-beta-gamma umgestellt.

Problem:
Nun wollte ich als nächstes nach Beta auflösen.
Hierzu habe ich die umgeformte

3) \in 2)

eingesetzt

\to

a/sin(180°-Beta-Gamma)=b/sin(Beta)

Hier hänge ich. Unter Verwenung des arcussinus komme ich auf:

asin(a)*(180-beta-gamma)=asin(b)*beta

Beim Teilen durch

β

würde ich nun ja

β

verlieren. Wo liegt also mein Fehler?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Raummessung
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Bummerang

10:52 Uhr, 13.11.2013

Hallo,

was ist Dir gegeben,

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos (α)

oder der Kosinussatz?

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14:24 Uhr, 13.11.2013

a^2=b^2+c^2-2bcCos(alpha) ist gegeben, bzw. die unter

2)

und

3)

angegebenen Gleichungen. Damit meine ich nicht, dass ein diskreter Wert vorliegt, sondern lediglich die Formeln Teil der Fragestellung sind.

Ziel ist jede beliebige Kombination aus

a, b

und

γ

auflösen zu können.

anonymous

14:41 Uhr, 13.11.2013

nimm doch einfach den Kosinussatz für die fehlende Seite

c :

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos (γ)

Dein Fehler oben:
Wenn wir dich recht verstehen, dann hast du die Gleichung
a/sin(180°-beta-gamma)

= \frac{b}{sin (β)}

Das ist so weit noch richtig.
Wie du aber daraus auf
asin(a)*(180-beta-gamma)=asin(b)*beta
gekommen sein willst, bleibt höchst erstaunlich, unverständlich, und wahrscheinlich nicht nur mit einem Fehler behaftet.
Solltest du wie gesagt den arcsin genutzt haben, dann dürfte die Gleichung doch anschließend so aussehen:
arcsin

[

a/sin(180°-beta-gamma)] = arcsin[b/sin(beta)]

Bummerang

15:14 Uhr, 13.11.2013

Hallo cube2,

"nimm doch einfach den Kosinussatz für die fehlende Seite c"

Genau das, behauptet der Fragesteller, geht eben nicht, denn es ist nur diese eine Gleichung vorgegeben und nicht der Kosinussatz!

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15:20 Uhr, 13.11.2013

Die Umformung nach

c

war wohl so offensichtlich, dass ich nie drauf gekommen wäre

-_{-}

Vielen Dank dafür!

Was meinen Umformungsversuch angeht, muss der Fehler tatäschlich tiefer liegen. Ich dachte, wenn ich das Gegenargument zum asin bilde, habe ich den sin.
Aus

a \cdot {sin}^{- 1} (180 - β - γ)

wird dabei für mich

sin (a) \cdot (180 - β - γ)

. Das scheint ja gehörig falsch zu sein. Ich muss mir das mal mit Formelsammlung anschauen.

Vielleicht versteh ich es, wenn mir jemand zeigt, was bei der Umformung nach

b

bei

a \cdot sin (b) = 0

rauskommt.

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