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Wie bestimmt man die Gleichung der Parabel und Lei

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Gleichungen, Kegelschnitt, Leitgerade, Parabel

vasmer

14:29 Uhr, 09.05.2015

Hi

Wie löst man diese Aufgabe:
Eine zur y-Achse symmetrische Parabel geht durch den Punkt(4.3). Ihr Brennpunkt ist der Nullpunkt. Bestimme die Gleichung der Leitgeraden sowie die der Parabel.

Meine Idee:

y=ax^2 +c(bx fällt weg, da y-Achse symmetrisch)

\frac{1}{a} = 2 p

2 p = 0

F (\frac{0}{0})

und der y-Wert ja

2 p

entspricht

a = 0

thx

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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rundblick aktiv_icon

15:51 Uhr, 09.05.2015

"
Wie löst man diese Aufgabe..
"

\to

indem man sich informiert :

\to

was ist mit Leitgerade

l

gemeint ..

\to

wie hilft dir die Parabel-Definition weiter : " Ort aller Punkte,
die von einem festen Punkt

F

und einer festen Geraden

l

gleichen
Abstand haben"

hast du mindestens bemerkt, wie unsinnig deine "Ergebnisse" sind?
gut ist immerhin der Ansatz

\to y = a x^{2} + c

wenn du herausgefunden hast , dass die Leitlinie

l

die Gleichung

\to y = - 2

haben wird (warum wohl?)
dann kannst du mit dem dann gefundenen Scheitelpnkt

S (0; - 1)

die Parabelgleichung

\to y = \frac{1}{4} x^{2} - 1

problemlos selbst herleiten ..

ok?

vasmer

16:25 Uhr, 09.05.2015

Danke, aber wie kommt man darauf, das die Leitgerade

l = - 2

ist? Ich versteh es noch nicht ganz.

Roman-22

16:49 Uhr, 09.05.2015

>

...wie kommt man darauf, das die Leitgerade

l = - 2

ist?

Da die Parabel laut Angabe zur y-Achse symmetrisch ist, muss das natürlich auch für ihre Leitgerade gelten. Diese muss daher eine waagrechte Gerade mit der Gleichung y=const sein.
Der Abstand des gegebenen Punktes

P

vom Brennpunkt

F (0 | 0)

beträgt genau 5 (Pythagoras), daher muss (Parabeldefinition) auch sein Abstand von der Leitlinie 5 sein.
Eine Möglichkeit ist da die Gerade

y = - 2

.

Was rundblick in seinem eifrigen Bemühen, dir dein Nicht-Wissen vor Augen zu führen, übersehen hat, ist, dass es auch noch

y = 8

als zweite Möglichkeit gibt.

Deine Aufgabe hat also zwei verschiedene Lösungen. Zum einen die nach oben offene Parabel, deren Gleichung dir rundblick bereits verraten hat, und dann noch eine weitere, nach unten offene Parabel, die ihren Scheitel natürlich ebenfalls auf der y-Achse genau zwischen Brennpunkt und der zweiten möglichen Leitline hat.

Gruß

R

EDIT: Bei deinem Ansatz hast du etwas durcheinander gebracht. Wenn

p

der Abstand zwischen Leitlinie und Brennpunkt ist, lautet die Parabelgleichung zwar in der Tat

y = \frac{1}{2 p} \cdot x + c,

aber der Brennpunkt hat nur dann die Koordinaten

F (0 | \frac{p}{2}),

wenn die Parabel ihren Scheitel im Ursprung hat. Das ist hier aber nicht der Fall, denn im Ursprung liegt ja der Brennpunkt. Die Parabel muss daher um

\frac{p}{2}

in y-Richtung verschoben sein. Wenn sie nach oben geöffnet ist, muss sie in negative Richtung verschoben werden, also

c = - \frac{P}{2}

. Ist die Parabel nach unten geöffnet

(\frac{1}{2 p}

ist dann negativ), muss die Parabel nach oben verschoben werden, also wieder

c = - \frac{p}{2}

.

Es gilt also

y = \frac{1}{2 p} \cdot x - \frac{p}{2}

Wenn du jetzt hier die Koordinaten des Punktes

P

einsetzt ergibt sich eine quadratische Gleichung für den Wert

p,

womit du ebenfalls die beiden Lösungen erhältst.

vasmer

20:23 Uhr, 09.05.2015

Danke, warum wird aber bei einer nach oben geööfneter Parabel, vom y-Wert der Wert

(\frac{p}{2})

subrahiert, und nicht addiert? Ich versteh das noch nicht so ganz.

Roman-22

21:50 Uhr, 09.05.2015

>

warum wird aber bei einer nach oben geööfneter Parabel,

>

vom y-Wert der Wert

(\frac{p}{2})

subrahiert, und nicht addiert?

Na, wenn du addierst, dann schiebst du die Parabel nach oben, *über* den Brennpunkt, der dann gewissermaßen "außerhalb" der Parabel zu liegen käme.

Schau die die beigefügte Grafik an - wir reden gerade von der Parabel, die (so wie auch ihre Leitgerade) strichliert in rot eingezeichet ist.

par1

vasmer

08:53 Uhr, 10.05.2015

Danke, also kann man allgemein das sagen:

Für Parabel:

Wenn Scheitelpunkt

S (x . y)

bekannt und Brennpunkt

F

gesucht dann hat der Brennpunkt

F

die Koordinaten

(d + x . y)

egal ob , Parabel, bzw. nach oben oder unten geöffnet

Wenn Brennpunkt

F (d + x, y)

bekannt dann gilt für den Scheitelpunkt der Parabel, nach oben oder nach unten geöffnet,

S (d + x - d . y)

d = \frac{p}{2}

Für Ellipse:

Wenn Scheitelpunkte

S_{1} (0, a), S_{2} (0, - a)

sowie die Nebenscheitel

S_{3} (b,0), S_{4} (- b,0)

bekannt dann haben die Brennpunkte

F_{1}

und

F_{2}

die Koordinaten

F_{1} (- c,0), F_{2} (c,0)

Dabei ist

c =

Epsilon*a

Wenn Brennpunkt

F_{1} (- c,0), F_{2} (c,0)

bekannt gilt für die Scheitelpuntke S_1(0,-c/Epsilpon), S_2(0,c/Epsilpon)

Für Hyperbel;

Wenn Scheitelpunkt

S_{1} (0, a), S_{2} (0, - a)

bekannt dann haben die Brennpunkte

F_{1}

und

F_{2}

die Koordinaten

F_{1} (c,0), F_{2} (- c,0)

Wenn Brennpunkt

F_{1} (c,0), F_{2} (- c,0)

bekannt gilt für die Scheitelpuntke S_1(0,c/Epsilpon), S_2(0,-c/Epsilpon)

Dabei ist

c =

Epsilon*a

(a

Hyperbel nicht gleich a Parabel)

Roman-22

10:19 Uhr, 10.05.2015

"
Danke, also kann man allgemein das sagen:

Für Parabel:

Wenn Scheitelpunkt $S (x . y)$ bekannt und Brennpunkt $F$ gesucht dann hat der Brennpunkt $F$ die Koordinaten $(d + x . y)$ egal ob , Parabel, bzw. nach oben oder unten geöffnet

Wenn Brennpunkt $F (d + x, y)$ bekannt dann gilt für den Scheitelpunkt der Parabel, nach oben oder nach unten geöffnet, $S (d + x - d . y)$

$d = p 2$
"

Das hängt ganz davon ab, was

p

sein soll und wie du

p

definierst.

p

ist dabei auf jeden Fall dabei orientiert, kann also auch negativ sein.

vasmer

10:27 Uhr, 10.05.2015

Danke, wie muss man dann vorgehen? Kann man nicht einfach immer sagen wenn man Brennpunkt hat und Scheitelpuntk bestimmen will hat der Scheitelpunkt die gleiche y-Koordinaten und die x-Koordinate des Scheitelpunkts ergibt sich aus Brennpunkt Koordinate-(+-

\frac{p}{2})

Roman-22

14:39 Uhr, 10.05.2015

< i >

"Kann man nicht einfach immer sagen wenn man Brennpunkt hat und Scheitelpuntk bestimmen will hat der Scheitelpunkt die gleiche y-Koordinaten und die x-Koordinate des Scheitelpunkts ergibt sich aus Brennpunkt Koordinate-(+-

p 2)

? "</i>

Hängt doch wohl davon ab, wie die Parabel im Koordinatensystem liegt, oder?

Mir ist da (wie bei vielen deiner Fragen hier im Forum) nicht ganz klar, was du genau meinst.
Generell denke ich aber, dass es viel besser ist, ein gewisses Grundverständnis und eine Vorstellung für die Materie aufzubauen (vor allem, wenn es sich so wie hier um geometrische Sachverhalte handelt), als sich für jeden möglichen Angabefall ein "Kochrezept" zu entwickeln und zu merken.
Wie du eingangs beim ersten Lösungsversuch ja gesehen hast, kommt man mit dem Wissen um die Lage der Parabel im KS und dem Wissen um die geometrische Bedeutung von Brennpunkt und Leitlinie ganz einfach zum Ziel.

vasmer

17:36 Uhr, 10.05.2015

Danke für den Tipp. Also man muss eigentlich in jedem Fall durch eine Skizze und überlegen entscheiden wie man den Brennpunkt

F

bzw. Scheitelpunkt

S

bestimmen kann

Roman-22

20:34 Uhr, 10.05.2015

Man kann sicher vieles durch allgemeine Formeln und Regeln "erschlagen", aber gerade bei geometrischen Sachverhalten sind Skizzen immer sehr nützlich (" Hast du von der Lösung keine Spur, dann zeichne eine Hilfsfigur ") und speziell auf die konkrete Aufgabe angepasste Überlegungen können es einem ersparen, sich eine Fülle von Regeln und Ausnahmen und Spezialfälle merken zu müssen.

vasmer

21:53 Uhr, 10.05.2015

Danke, hab noch eine Frage zum ersten Lösungsmöglichketein, wie bestimmt man dort die Scheitelpunktkoordinaten?

Roman-22

22:38 Uhr, 10.05.2015

Dass der Scheitel auf der y-Achse liegen muss, sollte klar sein (gegebene Axialsymmetrie).

Und der Scheitel liegt immer genau in der Mitte zwischen der Leitgeraden und dem Brennpunkt. Die Leitgerade wiederum hat von

P (4 | 3)

den gleichen Abstand wie

P

vom Brennpunkt

F (0 | 0)

und dieser Abstand ist 5. Daher kann die Leitgerade entweder

y = - 2 (= 3 - 5)

oder

y = 8 (= 3 + 5)

sein. Welche Punkte auf der y-Achse liegen nun genau in der Mitte zwischen

F

und

(0 | - 2)

bzw. zwischen

F

und

(0 | 8)

? Eben!

vasmer

22:47 Uhr, 10.05.2015

Danke, liegt der Scheitel bei einer Parabel immer in der Mitte der Strecke zwischen Brennpunkt und Leitgerade?

Roman-22

00:04 Uhr, 11.05.2015

>

Danke, liegt der Scheitel bei einer Parabel immer in der Mitte der Strecke

>

zwischen Brennpunkt und Leitgerade?

Ja! Das folgt aus der Eigenschaft der Parabel, die Menge aller Punkte zu sein, welche von einem festen Punkt, dem Brennpunkt, und einer Geraden, der Leitgeraden, konstanten Abstand haben. Also muss auch der Parabelscheitel von der Leitgerade und dem Brennpunkt den gleichen Abstand haben.

vasmer

18:45 Uhr, 11.05.2015

Vielen Dank, jetzt versteh ich es.

Roman-22

00:28 Uhr, 12.05.2015

>

Vielen Dank, jetzt versteh ich es.

Fein, nur musst du in meiner vorangegangenen Antwort "konstanten Abstand" durch "gleichen Abstand" ersetzen, sonst ist das Unsinn.

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