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allg. Lösung der DGL 2. Ordnung mit sin/cos
Universität / Fachhochschule
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Tags: Cosinus, Gewöhnliche Differentialgleichungen, partikulaere Loesung, Sinus
 
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Hi, ich bitte um Hilfestellung bei der folgenden DGL. Gesucht ist die allgemeine Lösung. Nach Lösung der homogenen DGL erhalte ich Soweit so gut. Nun bekomme ich es aber irgendwie nicht hin den inhomogenen Teil zu ermitteln. Hatte es über den Ansatz: versucht, kam dort aber nicht zu einem Ergebnis. Habe ich den Ansatz falsch gebildet? Für Tipps und Hilfe bin ich dankbar! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Sinus (Mathematischer Grundbegriff) Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff) Wichtige trigonometrische Werte Additionstheoreme Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Rechenregeln Trigonometrie Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hier kann man wieder zwei partikuläre Lösungen suchen, einmal für Cos und einmal für Sin, und am Ende addieren. Und den Grad musst Du nicht erhöhen, es liegt hier keine Resonanz vor, denn Cos und Sin muss man zusammen mit Exponentialfunktion betrachten (Cos und Sin sind in Wirklichkeiten Exponentialfunktionen). |
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Danke für deine Antwort, aber so ganz habe ich es glaube noch nicht verstanden. Mir ist z.B. nicht klar wie ich die e-Funktion noch mit ins Spiel bringen kann. Sie ist in der Gleichung ja nicht vorhanden. Man könnte zwar mit einbringen, aber das macht ja keinen Sinn. Wenn ich jetzt nicht in der falschen Ansatztabelle geschaut habe, dann müsste der Ansatz für den cos z.B. sein: Oder bin ich da jetzt schon wieder in der falschen Richtung unterwegs? |
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"Mir ist z.B. nicht klar wie ich die e-Funktion noch mit ins Spiel bringen kann." Musst Du nicht wirklich. Du musst nur erkennen, dass die rechte Seite nicht in Resonanz zu der homogenen Lösung steht, denn ist nicht in Resonanz zu . Was ich mit der Exponenten meinte: wenn Deine reelle allgemeine Lösung heißt, dann ist die entsprechende komplexe allgemeine Lösung , wobei Konstante komplex ist. Eigentlich ist es "richtiger" komplexe Lösung zu betrachten, reelle dazugehörende Lösung ist quasi so was wie Reduktion. Auf jeden Fall, wenn man komplexe Lösungen betrachtet, sieht man sofort, dass nicht in Resonanz zu steht, und ist quasi dasselbe wie und . "Wenn ich jetzt nicht in der falschen Ansatztabelle geschaut habe, dann müsste der Ansatz für den cos z.B. sein:" Der Ansatz muss auf jeden Fall berücksichtigen, dass Du nicht einfach , , sondern auch hast. Aber was ich meinte, betraf nicht den Einsatz. Sondern dass Du die Summanden auf der rechten Seite separat betrachten kannst, wie im anderen Thread. Der Ansatz wird aber in beiden Fällen gleich, nämlich . |
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Danke für deine ausführliche Erklärung. In puncto Exponent waren deine Ausführungen sehr hilfreich, jetzt verstehe was du meintest. Beim Berechnen der partikulären Lösung mit dem Ansatz komme ich allerdings nun wieder ins Stocken. Wenn ich den ersten Summanden () angehe, erhalte ich nach einsetzen der Ableitungen in die DGL: Möglichweise sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr, aber hier komme ich nun nicht weiter. Für den anderen Summanden ist es ja das gleiche Riesenpaket. Habe dann ja 5 Unbekannte mit 2 Gleichungen ... Bei sonstigen DGL's kürzte sich vieles raus oder hob sich gegenseitig auf, das ist aber hier ja nun gar nicht der Fall? |
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Jetzt musst Du separat Koeffizienten bei , , , vergleichen. Das ergibt Gleichungen für Unbekannte. Ist Scheißrechnerei, aber lösbar. :-) |
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Manchmal kann es so einfach sein, wenn man nicht gerade aufm Schlauch steht ... :-D) Ging alles wunderbar auf und habe folgende Gesamtlösung erhalten: Danke nochmal für deine Hilfe! |
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