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arctan-Funktion. Df und Nullstellen, Periode

Universität / Fachhochschule

Tags: arctan, Nullstellen, Periode

Yukii aktiv_icon

19:47 Uhr, 04.01.2015

Hallo liebe Studierende und Engangiere,

mein Tutor bringt mich leider an den Rand des Wahnsinn, weil ich das Gefühl habe, alles was er aufschreibt ist nur halbrichtig

. .

.

Es geht um die Aufgabe:

f (x) =

arctan

(\frac{x^{3} - 1}{x - 1})

a)

bestimmten Sie Df

b)

bestimmen Sie die Nullstellen.

Lösung meines Tutors

a)

= R

ausgeschlossen

{1}

Dem stimme ich so zu.

b)

Nullstellen:

f (x) = 0

arctan

(\frac{x^{3} - 1}{x - 1}) = 0

\Rightarrow

arctan

(\frac{x^{3} - 1}{x - 1}) = 0

\Leftrightarrow (\frac{x^{3} - 1}{x - 1}) = 0

\Leftrightarrow ((x^{3} - 1)) = 0

\Leftrightarrow x^{3} = 1

\Leftrightarrow x = 1

\Rightarrow {1}

nicht im Df

\Rightarrow

keine Nullstellen.

Entschuldigt, aber das kann doch einfach nicht stimmen oder? Allein schon aus dem Grund nicht, weil die Wiederholung der Nullstellen gar nicht mit einbezogen wurde. Arctan hat ja nicht nur eine Nullstelle, sondern die setzt sich ja auch periodisch fort. Also müsste das ganze doch in etwa so aussehen

arctan

(\frac{x^{3} - 1}{x - 1}) = 0

\Leftrightarrow (\frac{x^{3} - 1}{x - 1}) = 0 π k

\Leftrightarrow x^{3} - 1 = (0 π k) (x - 1)

. .

.

Leider weiß ich niucht wie ich das weiterhin sinnvoll auflösen soll.

Kann mir das jemand so bestätigen und sagen, wie ich hier die Nullstellen richtig berechne?

Viele Grüße

Yukii

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Nullstellen
Nullstellen bestimmen
Polynomdivision

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Nullstellen
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Shipwater aktiv_icon

19:51 Uhr, 04.01.2015

Der Arkustangens hat tatsächlich nur eine Nullstelle bei

x = 0 :

http//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e2/Arctangent.svg

ledum aktiv_icon

19:55 Uhr, 04.01.2015

Hallo
du verwechselst arctan mit einer Nullstelle bei 0 mit tan der periodisch ist, was arctan nicht ist!
Gruß ledum

Yukii aktiv_icon

20:41 Uhr, 04.01.2015

Habe ich es dann richtig verstanden, der Arkussinus und der Arkuscosinus sind aber aber periodisch ? Nur der Arkustangens net?

Shipwater aktiv_icon

20:49 Uhr, 04.01.2015

Nein. Als Umkehrfunktionen müssen arcsin,arccos und arctan doch allesamt bijektiv sein! Außerdem ist der Definitionsbereich von arcsin und arccos doch nur

[- 1,1]

. Du musst wirklich beachten, dass man die Definitionsbereiche von

sin, cos

und

tan

einschränken muss bevor man Umkehrfunktionen finden kann.
Du verwechselst da wohl etwas mit der Tatsache, dass Gleichungen wie

sin (x) = 1

unendlich viele Lösungen in

ℝ

haben.

Yukii aktiv_icon

21:06 Uhr, 04.01.2015

Was ich meine: Man kann

z

B

den Arkuskosinus ja auf den Monointervallen des Kosinus umkehren.

f (x) =

arccos(x)

, x

€

[- 1,1]

ist ja nur der Hauptzweig. Somit wäre der Wertbereich des Arccosinus periodisch, nämlich Wf

= (2 k + 1) \frac{π}{2}

(zusammengesetzt aus den beiden Nullstellen

\frac{3}{2} π

und

\frac{π}{2}

jeweils fortgesetzt mit

2 π k)

.

Das gleiche kann ich auch für den Arcustangens machen. Das Bild was du geposted hast, ist nur der Hauptzweig des Arcustangens.

Mein Problem was ich wohl nur gerade habe, das ändert nichts an den Nullstellen, die sind ja gleich. Das verwechsel ich wohl gerade... habt schon recht, arctan, arccos und arcsin sind nicht periodisch (im Df) aber sie haben einen periodischen Verlauf im Wertebereich (ist ja logisch, weil

sin, cos

und tan periodische Funktionen sind - das ist ja die Definition einer Umkehrfunktion).

Danke für diese Selbsterkenntnis

\land

Yukii aktiv_icon

21:13 Uhr, 04.01.2015

closed

Shipwater aktiv_icon

21:19 Uhr, 04.01.2015

Um auf alle Lösungen zu kommen, reicht der "Hauptzweig" alleine dann nicht mehr, da hast du Recht. Aber mittels Periodizität kann man sich leicht die restlichen Lösungen überlegen. Man muss sich aber stets vor Augen führen, dass der Arkustangens die Umkehrfunktion von

tan : (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) \to ℝ

ist.

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