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Funktionsberechnung!

Schüler Gymnasium,

Tags: Definitionsbereich, Extrempunkt, Graph zeichnen, Nullstellen, Stammfunktion, Verhalten bei Unendlich

lissi1918 aktiv_icon

18:48 Uhr, 05.07.2011

x^{2} + 2 x + \frac{1}{x} = 0

fa(x)=

a \cdot x - ln (x)

mit

a > 0

1)

Definitionsbereich angeben!

2)

Verhalten wenn

x \to \pm

Unendlich bzw.

x \to 0 +

geht

2)

Bestimmen der Art und der Lage des Extrempunkts

4)

Für welchen Wert von a liegt der Extrempunkt auf der x-Achse
5)Für welche Werte von a hat die Funktion keine Nullstelle

6)

Graphen zeichnen für

a = 1

7)

Zeigen Sie, dass

F 1 (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x - x \cdot ln (x)

eine Stammfunktion von

f 1 (x)

ist!

Die Zahlen und Buchstaben bei

F (x)

und

f (x)

sind jeweils untergestellt!!
Bitte bitte helft mir.. Ich bin echt am Verzweifeln!!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Definitionsbereich (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Definitionsbereich
Definitionsbereich der Wurzel angeben
Definitionsbereich einer Wurzelfunktion
Einführung Funktionen
Hyperbeln
Nullstellen

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michael777 aktiv_icon

19:54 Uhr, 05.07.2011

1) x > 0

also

D = R^{+}

Argument des Logarithmus darf nie 0 oder negativ sein

2)

für

x \to \infty

geht

f_{a} (x) \to \infty

x \to - \infty

gehört nicht zum Definitionsbereich
für

x \to 0 +

geht

f_{a} (x) \to \infty

3)

f_{a}' (x) = a - \frac{1}{x}

f_{a}'' (x) = \frac{1}{x^{2}}

f_{a}' (x) = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{x} \Leftrightarrow x = \frac{1}{a}

f_{a}'' (\frac{1}{a}) = a^{2} > 0 \Rightarrow

(\frac{1}{a} | 1 - ln (\frac{1}{a}))

bzw. TP

(\frac{1}{a} | 1 + ln (a))

4)

f_{a} (\frac{1}{a}) = 0

1 - ln (\frac{1}{a}) = 0

a = \frac{1}{e} = e^{- 1}

5)

keine Nullstelle(n), wenn der Tiefpunkt oberhalb der x-Achse
also y-Wert des Tiefpunktes

> 0

1 - ln (\frac{1}{a}) > 0

\Rightarrow a > \frac{1}{e}

a > 0,368 .

7)

F_{1}' (x) = x + 1 - (1 \cdot ln (x) + x \cdot \frac{1}{x}) = x + 1 - ln (x) - 1 = x - ln (x) = f_{1} (x)

lissi1918 aktiv_icon

19:58 Uhr, 05.07.2011

DANKE DANKE DANKE DANKE!!!!!

. .

lissi1918 aktiv_icon

20:15 Uhr, 05.07.2011

danke!

ich hätte noch eine frage zu

4)

heißt das

e

hoch

- 1

jetzt, dass der punkt bei

e

hoch

- 1

auf der x-achse liegt???
und bei 5 kann ich den rechenweg nicht ganz nachvollziehen!?

ich hoffe, dass du mir meine matheunwissenheit nicht all zu ernst nimmst.
ich verstehe einfach auch das einfache zeugs nicht!!!

michael777 aktiv_icon

20:17 Uhr, 05.07.2011

4)

a ist

e^{- 1}

der x-Wert des Tiefpunkts ist

\frac{1}{a} = \frac{1}{e^{- 1}} = e

der Tiefpunkt ist

(e | 0)

5)

habe es oben korrigiert,
gefragt war ja, für welche a es keine Nullstellen gibt

DmitriJakov aktiv_icon

21:04 Uhr, 05.07.2011

@lissy:
Wenn sich Deine Bitte, die Du in einem anderen thread an mich gestellt hast, auf diesen hier bezieht, dann frag bitte, was Du an den Erklärungen von michael777 noch nicht verstanden hast.

lissi1918 aktiv_icon

22:02 Uhr, 05.07.2011

ich habe das mit fa'' noch nicht verstanden..
wieso muss man da die zweite ableitung bilden?!
ich hab das irgendwie nie mit der zweiten ableitung gemacht!!!

DmitriJakov aktiv_icon

22:17 Uhr, 05.07.2011

Nun, das scheint sich auf die Frage 3 zu beziehen: "Bestimmen Sie Art und Lage der Extrema"

Für die Lage der Extrema untersucht man wo die erste Ableitung Null wird, mit anderen Worten: wo die Steigung des Graphen Null wird.

Zur Bestimmung, ob es sich dabei um ein Minimum oder ein Maximum handelt, also zur Bestimmung der Art des Extremums, muss man an diesen Stellen die zweite Ableitung untersuchen. Diese gibt an wie sich die Steigung am verdächtigen Extremum verändert.

Ist die 2. Ableitung negativ, so verringert sich die Steigung bei zunehmendem

x

. Die Ableitung rechts des Extremums wird dann also negativ werden und links davon war sie gerade noch positiv. Und somit würde eine negative 2. Ableitung an der Stelle der waagrechten Graphenstelle eindeutig auf ein Maximum hindeuten.

Genau umgekehrt wäre es bei einer positiven 2. Ableitung an dieser Stelle. Die Steigung würde wachsen, also rechts von der waagrechten Tangente eine positive Steigung haben und links davon eine negative. Eine positive 2. Ableitung an der Stelle einer waagrechten Tangente spricht also eindeutig für ein Minimum.

Jetzt gibt es aber auch noch den Fall, dass auch die 2. Ableitung Null ist. Dann muss man weitere Untersuchungen durchführen, denn dann ist das Ergebnis noch nicht eindeutig. Dies jetzt aber hier auch noch zu erklären würde etwas zu weit führen. Wenn es Dich interessiert, dann schau in Wikipedia unter den Stichworten Terassenpunkt und Wendepunkt nach.

lissi1918 aktiv_icon

13:33 Uhr, 06.07.2011

danke :-)
und kannst du mir vielleicht auch noch genaue lösungen (sozusagen aussagen!!) zu den anderen aufgaben geben? und vielleicht noch irgendwie nen graphen!! ich kann den graphen nicht zeichnen!! du wärst echt eine große hilfe!!
ich muss nämlich diese aufgabe vor meiner klasse vorstellen und ich weiß dann gar nicht, wie ich was sagen soll und wie man darauf kommt...

liebe grüße :-)

DmitriJakov aktiv_icon

13:50 Uhr, 06.07.2011

Hmm, ich würde eigentlich nur an einer Stelle von Michael777 abweichen, nämlich bei Frage 3. Denn der einzige Extrempunkt ist bei:

x = \frac{1}{a}

y = a \cdot \frac{1}{a} - ln (\frac{1}{a}) = 1 - ln (\frac{1}{a})

Der zweite Extrempunkt

1 + ln (\frac{1}{a})

existiert nicht. Ist auch logisch, denn eine Funktion mit nur 2 Extrempunkten kann keine 2 Tiefpunkte haben, das ist logisch unmöglich. Aber diese Funktion hat ohnehin nur einen Extrempunkt.

Und zum Graphen: Ich habe hier eine Zeichnung angehängt. Den Parameter a kannst Du mit dem Schieberegler zwischen 0 und 2 verschieben.

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

Zeichnung betrachten

michael777 aktiv_icon

15:24 Uhr, 06.07.2011

@DmitriJakov
ich habe bei

3)

nur einen Extrempunkt
habe nur den y-Wert umgeformt

ln (\frac{1}{a})

ist doch

- ln (a)

deshalb kann man den TP

(\frac{1}{a} | 1 - ln (\frac{1}{a}))

auch als TP

(\frac{1}{a} | 1 + ln (a))

schreiben
es handelt sich um genau den gleichen Tiefpunkt
vielleicht hätte ich das deutlicher schreiben sollen

DmitriJakov aktiv_icon

15:27 Uhr, 06.07.2011

@michael777

Sorry, das hatte ich falsch verstanden. Du hast natürlich recht, ich hatte nicht genau genug hingeschaut.

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