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Trigonometrie - Einheitskreis (Symmetrie-Formeln)

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Rad, Sinus, Symmetrie, Trigonometrie

MaxWil aktiv_icon

22:44 Uhr, 25.04.2024

Hallo, ich würde wieder einmal Hilfe benötigen.

Die Aufgabe:

sin (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}

sin (\frac{4 π}{3}) =

\to

Lösung sagt:

sin (\frac{4 π}{3}) = - sin (\frac{π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}

Man sollte das mit diesen Eigenschaften/Formeln herauskriegen:

sin (2 π - θ) = - sin (θ)

sin (π - θ) = sin (θ)

Doch als ich das probiert habe, kam ich auf

(\frac{5 π}{3})

(Mir wurde gesagt dass man alle 4 Quadranten, außer dem ersten, damit lösen kann, stimmt das?)

Wieso kommt bei der Lösung das Gleiche raus, wie bei:

sin (\frac{5 π}{3}) = sin (2 π - \frac{5 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Symmetrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel
Symmetrie von Vierecken

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

calc007

22:58 Uhr, 25.04.2024

Deine Beschreibungen sind ein wenig wirr.
Du gibst dich als Student zu erkennen. Dann solltest du schon auch lernen, dich ein wenig fachmännisch verständlich und studientauglich zu verständigen.

Prinzipiell gibst du dir in deiner Überschrift doch schon selbst die Antwort.
Mach dir eine Skizze vom Einheitskreis.
Bilde dort den Sinus vom Winkel

(\frac{π}{3})

ab,
bilde dort den Sinus vom Winkel

(\frac{4}{3} \cdot π)

ab.
Die Symmetrie und Ähnlichkeit ist unverkennbar.

Bilde dort einen beliebigen Winkel

θ

ab,
bilde den Sinus dieses Winkels

θ,

dann bilde den Winkel

(2 \cdot π - θ)

von deinem Winkel,
und den Sinus dieses Winkels

(2 \cdot π - θ)

.
Die Symmetrie und Ähnlichkeit ist unverkennbar.

Führ dir den Winkel

(5 \cdot \frac{π}{3})

vor Augen,
bilde den sinus hiervon,
führ dir den Winkel

(2 \cdot π - 5 \cdot \frac{π}{3})

vor Augen,
bilde den sinus hiervon,

. .

. und mach dir daraus klar, dass zwar wiederum die Symmetrie unverkennbar,
die von dir genannte Gleichung aber
"sin(5*pi/3)

= sin (2 \cdot π - 5 \cdot \frac{π}{3})

"
falsch, eben Vorzeichen-verdreht ist.

MaxWil aktiv_icon

00:00 Uhr, 26.04.2024

Verstehe, das bedeutet man muss einfach immer in Grad umrechnen und danach den Einheitskreis zeichnen, um Symmetrien zu finden.
Vielen Dank für die Antwort!

Bin leider neu in diesem Forum, deshalb tut es mir Leid, wenn ich mich fälschlicherweise hier als Student erkennbar gemacht habe. Das bin ich nämlich noch nicht. Dennoch, gebe ich Ihnen recht, dass das besser beschrieben bzw. strukturiert gehört.

Schönen Abend wünsch ich.

HAL9000

07:53 Uhr, 26.04.2024

> Man sollte das mit diesen Eigenschaften/Formeln herauskriegen:
>

\sin (2 π - θ) = - \sin (θ) (1)

\sin (π - θ) = \sin (θ) (2)

Na klappt doch: Aus beiden zusammen folgt nämlich

\sin (π + θ) = \sin (2 π - (π - θ)) \overset{(1)}{=} - \sin (π - θ) \overset{(2)}{=} - \sin (θ)

,

und damit für

θ = \frac{π}{3}

das von dir gewünschte

\sin (\frac{4 π}{3}) = \sin (π + \frac{π}{3}) = - \sin (\frac{π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}

.

----------------------------------------------------------------------------------

Bei dieser so formulierten Aufgabe tut man gut daran, einfach zu "vergessen", was man alles schon von der Sinusfunktion weiß, sondern man hält sich nur an die Vorgaben. D.h., genau genommen hat man dann folgende Aufgabe:

Es sei

f : [0, 2 π] \to ℝ

eine Funktion, von der man folgendes weiß:

(1) Es gilt

f (2 π - θ) = - f (θ)

für alle

θ \in [0, 2 π]

.

(2) Es gilt

f (π - θ) = f (θ)

für alle

θ \in [0, π]

.

(3) Es ist

f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}

.

Man bestimme

f (\frac{4 π}{3})

.

P.S.: Sowas nennt man Funktionalgleichung, wobei die Aufgabenstellung hier da noch eine der sehr einfachen ist. ;-)

MaxWil aktiv_icon

11:16 Uhr, 26.04.2024

Wow, sehr gute Erklärung. Danke!

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