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Ableitung cos[arcsin(1/x)]

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, Kettenregel, Trigonometrische Funktionen

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15:31 Uhr, 12.12.2009

Hallo Leute,

habe hier ein kleines Ableitungsproblem, wo ich glaube nen Fehler mache.
Vieleicht könnt Ihr mir ja helfen.

Die Funktion ist $f (x) = \cos [\sin^{-1} (\frac{1}{x})]$

ich habe

$u = \cos (\sin^{-1} (\frac{1}{x})) u' = - \frac{1}{x}$

$v = \sin^{-1} (\frac{1}{x}) v' = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{{}_{x}2}}}$

$w = \frac{1}{x}$ $w' = - \frac{1}{{}_{x}2}$

$f' (x) = - \frac{1}{x} \times - \frac{1}{x^{2}} \times \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}$

zusammengefasst:

$\frac{1}{x^{3}} \times \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}$

vieleicht kann mir da jemand aus dem wald helfen, ich finde den fehler nicht.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kettenregel
e-Funktion

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15:46 Uhr, 12.12.2009

hi

mir sind deine aufzeichnungen viel zu unübersichtlich um zu sehen was du da gemacht hast....

ich weiß nicht ob dir das hier hilft:
also ich würde sagen es ist

f' (x) = - sin ({sin}^{- 1} (\frac{1}{x})) \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} \cdot \frac{1}{x} \cdot (- \frac{1}{x^{2}})

äußere

\cdot

innere ableitung

sieh dir das mal an und guck mal ob du das nachvollziehen kannst.

lg

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15:54 Uhr, 12.12.2009

oh sorry ich hab da einen fehler gemacht!

am ende nicht

- \frac{2}{x}

sondern

- \frac{1}{x^{2}}

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16:15 Uhr, 12.12.2009

ja toll, jetzt tippe ich mir da in dem formeleditor einen ab, und dann speichert der das nicht.

erklär mal bitte wo das

\frac{1}{x}

herkommen soll!?

meiner meinung nach ist musst du doch noch bei der ableitung von arcsin das

x

unter der wurzel zum quadrat nehmen, oder?

ps. habe meinen rechnenweg nochmal angepasst, vieleicht versteht man es so besser was ich gemacht habe.
danke

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16:29 Uhr, 12.12.2009

das ist festgelegt:

f(x)=arcsin(x)

f' (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x}}

f (x) = cos (x)

f' (x) = - sin (x)

es geht immer so:

->ableiten was vor der 1. klammer steht
->rest, der rechts noch steht dahinter ohne ableiten schreiben
->ableiten was vor der 2. klammer steht
->rest, der rechts noch steht dahinter ohne ableiten schreiben

\to

in diesem fall gibt es keine dritte klammer von daher jetzt was in der innersten klammer steht ableiten
->fertig

\frac{1}{x}

steht also da weil es zweimal zu dem nichtabzuleitenden rest gehört.

lg

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16:34 Uhr, 12.12.2009

jetzt kann ich auch verstehen was du da gemacht hast...
deine ableitungen sind völlig falsch...daran liegt das!
natürlich kannst du dir das auch so einzeln aufschreiben, wenns richtig abgeleitet wäre käme das gleiche wie bei mir raus!

w'

ist richtig

ja und den rest solltest du jetzt selbst berichtigen können wenn du verstehen kannst was ich dir hingeschrieben hab!

lg

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16:37 Uhr, 12.12.2009

also mein script sagt arcsin muss das

x

unter der wurzel zum quadrat, wikipedia sagt das auch, und meine formelsammlung auch.

das verwirrt mich jetzt :-D)

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16:40 Uhr, 12.12.2009

also in meinem LK buch (lambacher schweizer) stehts wie ichs geschrieben hab und bis jetzt war das noch nie ein problem....
hmmmm tja dann kann ich dazu auch nich mehr sagen...außer keine ahnung wie das kommt

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16:41 Uhr, 12.12.2009

ahhh sekunde ich glaub ich habs jetzt :-D) moment

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16:47 Uhr, 12.12.2009

ne anscheinend doch nicht...

ich hab absoulut keine ahnung warum du ne andere formel hast sorry

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16:49 Uhr, 12.12.2009

laut lehrkraft soll rauskommen:

f′(x) = $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

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17:21 Uhr, 12.12.2009

Tipp

: sin (a r c s i n (x)) = x

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17:24 Uhr, 12.12.2009

soweit war ich auch schon ;-)
wenn jemand ne andere lösung hat als mathe-lk-opfer wäre schön.
ich komme der lösung nicht näher. vieleicht ist ja auch das ergebniss vom lehrer falsch :-D)

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17:29 Uhr, 12.12.2009

okay, also es liegt offenbar an dem

\frac{1}{x}

f(x)=arcsin(x)
ist zwar

f' (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

aber

f (\frac{1}{x}) =

arcsin

(\frac{1}{x})

ist

f' (x) = \frac{1}{\sqrt{x - {(\frac{1}{x})}^{2}}}

also ist meine formel die allgemeine und deine auf diesen fall bezogen nehme ich mal an.

ich berichtige also mal gerade in dem fenster oben meine ableitung moment

arrow30

17:29 Uhr, 12.12.2009

\frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}} = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{(\frac{x^{2} - 1}{x^{2}})}} = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{(x^{2} - 1)}}{x}} = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{x}{\sqrt{(x^{2} - 1)}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 1)}} =

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17:44 Uhr, 12.12.2009

ich komme jetzt fast auf das gleiche

aber kannst du mal kurz erklären warum im zähler

\frac{1}{x^{2}}

stehen bleibt? also es ist ja offenbar richtig ich frage mich nur wieso ich

\frac{1}{x^{3}}

im zähler stehen hab was ja anscheinend falsch ist
wenn ich meine korrigierte fassung von da oben jetzt zusammenfasse bleibt komme ich da immer wieder auf diese