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Ableitung sinx/cosx im Gradmaß

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionen

Tags: Differentiation, Funktion, Trigonometrische Funktionen

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00:03 Uhr, 31.08.2019

Hallo zusammen,
zunächst muss ich mich entschuldigen wenn die Frage eher vor Unwissenheit glänzt, ich studiere keine reine Mathematik sondern habe nur ein paar Mathe-Module (Maschinenbau) :-)
Leider habe ich bisher noch keine zufriedenstellende Antwort auf meine Frage gefunden.

Als in der Vorlesung Taylorreihen von Sinus und Kosinus behandelt wurden hab ich mich gefragt, inwiefern sich die verwendete Winkeleinheit (Grad, Bogenmaß etc.) in der Potenzreihe

z . B

. des Sinus niederschlägt.
Wenn ich die transzendente Funktion als solche verwende tritt ja kein direktes Mathematisches Problem auf, ich muss nur wissen welche Winkeleinheit ich gewählt habe und die zugehörigen Sinus-Werte richtig zuordnen. Wenn ich aber, ausgehend von der Potenzreihe, für kleine Winkel nähere, macht die Diskrepanz von 10° zu ca

0,17

einen großen Unterschied (logischerweise).

Die Potenzreihe kann so also aus irgendeinem Grund nur für eine einzige Winkeleinheit funktionieren... der Prof hat versucht mir das so zu erklären, dass die Ableitung vom Sinus nur im Bogenmaß der Kosinus ist (das habe ich mittlerweile auch schon mal wo anders gelesen).
Nur finde ich dafür keine vernünftige Erklärung. Jeder auffindbare Ansatz zur Bestimmung der Ableitung vom Sinus greift auf Additionstheoreme zurück, die man ihrerseits aus der Eulerschen Identität herleitet, diese wiederum kommt aus den... Potenzreihen

: (

.

Ich suche nach irgendeinem Beweis\Argument, das belegt, das ich nicht jede beliebig definierte Winkeleinheit benutzen kann wenn ich den Sinus ableite\ seine Taylorreihe bestimme, am liebsten gleich damit der Beweis, wieso gerade das Bogenmaß ohne weitere Korrekturfaktoren auskommt.

Ich hoffe mein Problem ist einigermaßen verständlich und bedanke mich schon mal im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

anonymous

02:10 Uhr, 31.08.2019

Hallo,

zunächst einmal ist

cos : R \to R, x \mapsto cos (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \cdot \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}

eine Funktion wie jede andere.

Die Geometrie betreffend findet man dann,
dass

cos (x)

die Länge einer der Katheten des Dreiecks
im Einheitskreis unter dem Kreisbogen (dem Winkel)
der Länge

x

ist, salopp gesagt.
Der Einheitskreis hat den Umfang

2 \cdot π

(nicht etwa

360)

und

π = 3,14 . .

. wiederum ist das doppelte der ersten positiven
Nullstelle von

cos

usw...
Das alles ergibt sich so und ist nicht etwa designt,
weshalb diese geometrischen Beziehungen nur gelten,
wenn wir

x

als Werte (Winkel) bezüglich
der Einheit Rad betrachten.

Nun kann man generell immer hingehen und eine Funktion umeichen,
indem man

f (x) = f (q \cdot y) = g (y)

für

y = \frac{x}{q}

definiert,
was dann aber auch

f' (x) = g' (y) \cdot \frac{1}{q}

(Kettenregel für Ableitung nach

x)

nach sich zieht...

Ich lebe das mal für

cos

vor:

Zunächst mit

x

in Rad:

cos (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \cdot \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}

\Rightarrow (cos (x))' = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \cdot \frac{(x^{2 n})'}{(2 n)!}

(kurz und schmerzlos, darf man wegen gleichmäßiger Konvergenz)

= \sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n} \cdot \frac{x^{2 n - 1}}{(2 n - 1)!} = - \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \cdot \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} = - sin (x)

.

Nun mit

y

in Traumlandgrad

(T)

mit

512 T = 2 \cdot π

Rad:

{cos}_{T} (y) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \cdot \frac{{(q \cdot y)}^{2 n}}{(2 n)!}

mit

q = \frac{2 \cdot π}{512} = \frac{π}{256}

\Rightarrow ({cos}_{T} (y))' = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \cdot \frac{({(q \cdot y)}^{2 n})'}{(2 n)!}

= \sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n} \cdot \frac{{(q \cdot y)}^{2 n - 1}}{(2 n - 1)!} \cdot q = - q \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \cdot \frac{{(q \cdot y)}^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} = - q \cdot {sin}_{T} (y)

.

Nun gilt

x = q \cdot y, cos (x) = {cos}_{T} (y) = {cos}_{T} (\frac{x}{q})

und insbesondere

({cos}_{T} (\frac{x}{q}))' = - {sin}_{T} (\frac{x}{q}) = - sin (x)

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12:40 Uhr, 31.08.2019

Danke für die schnelle Antwort!
Dazu hätte ich noch eine Rückfrage.
So wie ich das jetzt verstanden habe, untersucht man zunächst die Potenzreihe (weil Mathematiker halt mal was ausprobieren) und findet dann den Zusammenhang zu Dreiecken nur für das Bogenmaß, weil die Potenzreihe nur dafür passende Ergebnisse liefert. Diese Herangehensweise schließt natürlich sofort jede andere Winkeleinheit aus.
Ich finde es nur schwer vorstellbar, dass zuerst die Potenzreihe existierte und man dann erst die trigonometrischen Eigenschaften dieser entdeckt hat. Das könnte aber auch daran liegen, dass der Zusammenhang in Schule und Uni immer anders herum eingeführt wird, also man schaut sich zuerst viele Dreiecke an und leitet daraus die Funktionen und aus denen dann wiederum die Potenzreihen her (über den allgemeinen Ansatz).
Weiß man zufällig was historisch zuerst gefunden wurde? Die Potenzreihe oder die geometrischen Funktionen? Und wenn es die Potenzreihe zuerst gab, wie beweist man den geometrischen Zusammenhang? Über einfachen Werteabgleich wird man doch nie sagen können, ob die Potenzreihe des Sinus genau in jedem einzelnem Punkt das Verhalten der Kathete in einem Dreieck im Einheitskreis an den Tag legt...
Auf jeden Fall schon mal vielen Dank!

anonymous

13:54 Uhr, 31.08.2019

Ja, wer mag das wann und wie und woraus in welcher Reihenfolge
und mit welcher Absicht wohl hergeleitet oder entdeckt haben,
würde ich auch gerne mal wissen.
Ich kenne nur das allgemeine Dogma über exp, die Komplexen
und dann die Eulersche Formel.
Vielleicht gibt es Möglichkeiten, diese Reihe elementargeometrisch herzuleiten,
vielleicht aber auch nicht...
Ich selbst lerne gerade woanderswas und kann bzw. will hier jetzt
keinen Exkurs starten, bin auch vorerst ganz zufrieden mit meiner
kleinen heilen Welt der trigonometrischen Funktionen...

Ach ja, dieses "nicht designt" oben bezieht sich auf den
Umfang des Einheitskreises, den man sich ja nicht aussucht.
Die Reihe könnte natürlich schon irgendwie von irgendwem
(wie bereits gesagt) designt sein, oder auch nicht...
Ich habe lange überlegt, ob ich den Satz so abschicke
und dachte mir dann einfach "frei Schnauze".
Ich wollte halt rüberbringen, dass Rad die echte,
natütliche Einheit für Winkel ist und die
Kosinus-Reihe so, wie sie ist, nur damit ihre
wohlgeschätzten geometrischen Eigenschaften
aufweist...

HAL9000

14:42 Uhr, 31.08.2019

Das Henne-Ei-Problem der trigonometrischen Funktionen...

Von der Didaktik her finde ich folgendes einleuchtender:

1) Geometrische Definition der Winkelfunktionen im Einheitskreis

2) Geometrische Begründung des Grenzwertes

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = 1

, hier ist es natürlich essentiell, dass man im Bogenmaß arbeitet.

3) Auf 2) sowie den ebenfalls geometrisch begründbaren Additionstheoremen aufbauend kann man

(\sin (x))' = \cos (x)

bzw.

(\cos (x))' = - \sin (x)

beweisen.

4) Die Taylorreihen von

\sin (x), \cos (x)

bilden mit Hilfe von 3).

Den umgekehrten Weg "Definition der trigonometrischen Funktionen als Potenzreihen --> Nachweis der geometrischen Eigenschaften" finde ich einigermaßen kompliziert - allein beim Nachweis

\sin (π) = 0

stösst man schon auf einige Schwierigkeiten...

anonymous

15:13 Uhr, 31.08.2019

Danke für diese andere Perspektive,
dazu ein alter geometrischer Beweis für

lim_{x \to 0} \frac{sin (x)}{x} = 1

.

aus meiner Mottenkiste.
Ist ein wenig free-style und muss ihn
auch selber erst nochmal lesen...

Und eine selbsterklärende elementargeometrische
Beweisskizze für die Additionstheoreme.

Ja und jetzt kann man tatsächlich die Reihe
aus einem in den Sand gezeichneten Kreis
herleiten, Potzblitz !

Obwohl...
...leider nur fast. Wir brauchen noch,
dass der Kreisausschnitt zum Kreisbogen

x

am Einheitskreis die Fläche

\frac{x}{2}

hat.
Aber falls wir das schon wüssten, also, dass
Umfang/Fläche=1/2 am Einheitskreis,
dann hätten wir alles...

lixa34 aktiv_icon

19:23 Uhr, 31.08.2019

Danke für eure Mühe, die Antwort hat super geholfen!

anonymous

19:55 Uhr, 31.08.2019

Falscher Fehler in meinem Beitrag zuvor,

Umfang/Fläche=(2*pi*1)/(pi*1^2)=2

am Einheitskreis und

Fläche/Umfang=1/2

wollte ich gemeint haben.

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