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Anzahl Nullstellen einer Sinusfunktion
Universität / Fachhochschule
Polynome
Vektorräume
Tags: Nullstell, polynom, Sinus, Vektorraum
 
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Hallo Leute, ich habe eine Frage. In der Klausur letzte Woche gab eine eine Aufgabe, in der man beweisen sollte, dass die Anzahl der Nullstellen einer Sinusfunktion abzählbar ist. Leider ist mir in der Klausur kein Weg auf die schnelle eingefallen, wie man dieses Problem beweisen kann. Vielleicht hat einer von euch eine Idee. Gruß Marko Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Sinus (Mathematischer Grundbegriff) Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff) Wichtige trigonometrische Werte Additionstheoreme Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Rechenregeln Trigonometrie Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff) Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff) Allgemeine Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Definition von Sinus, Kosinus und Tangens Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung Sinus und Kosinus für beliebige Winkel |
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Hallo, sei die Menge der Nullstellen von . Dann gilt - wie du sicher weißt - ist abzählbar und ist offenbar bijektiv. Gruß ermanus |
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Perfekt Vielen Dank! |
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Hallo, ich weiß nicht, ob die Aufgabenstellung bei " Anzahl der Nullstellen einer Sinusfunktion" so gelesen werden darf. Daher mal meine Idee: Auf jeden Fall ist die (Sinus-)Funktion (um die es geht) stetig. Daher ist das Urbild der abgeschlossenen Menge selbst abgeschlossen. Aus abgeschlossen und überabzählbar muss (und da habe ich noch eine Lücke) doch schlusszufolgern sein, dass diese Sinusfunktion auf einem ganzen zusammenhängenden Intervall der Länge > 0 verschwindet, was nur funktioniert, wenn es sich um die Nullfunktion handelt. (Ob diese ausgeschlossen ist, weiß ich zwar nicht, nehme es aber mal an.) Mfg Michael |
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@MichaL: interessante Interpretation. Wenn wir also schon in der Klausur die Nullstellen nicht kennen dürfen, so doch vielleicht die Periodizität? Dann würden in jedem Intervall der Länge bei überabzählbarer Nullstellenmenge auch überabzählbar viele Nullstellen liegen, also erst recht unendlich viele. Nach Bolzano-Weierstrass hätten diese z.B. im Intervall einen Häfungspunkt. Wenn man nun in der Klausur wissen dürfte, dass durch eine Potenzreihe dargestellt wird, könnte man dann schließen, dass deren Koeffizioenten sämtlich 0 sind. Und wenn man dann noch wissen dürfte, dass nicht die Nullfunktion ist, dann wäre man am Ziel. Daher nehme ich doch an, dass meine Simpelinterpretation die für eine Klausur wohl wahrscheinlichere ist. LG ermanus |
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Es wäre vielleicht auch interessant zu erfahren, ob die reelle oder die komplexe Sinusfunktion gemeint war. Die haben zwar die gleiche Nullstellenmenge, aber es könnte ja ein wenig die Argumentation beeinflussen... |
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