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Aufgabe zur gedämpften Schwingung

Schüler

Tags: Amplitude, Extrema, gedämpfte, Gleichungen, Nullstellen, Schwingung, Wendepunkt

eloraabeh aktiv_icon

11:48 Uhr, 24.02.2012

Ich halte nächste Woche ein Fachreferat in Mathe über gedämpfte Schwingungen. Dabei soll ich vor der Klasse eine Aufgabe lösen, die ich leider selber noch nicht verstanden habe. Ich hoffe, ihr könnt mir dabei helfen.
Die Aufgabe lautet:
"Eine gedämpfte Schwingung, bei der die Amplituden mit der Zeit abnehmen, gehorcht folgender Funktion: x(t)= 1,5*e^(-0,3t)*sin2t;
t Element R0+" (wie schreibt man das?? Hoffentlich versteht ihr es trotzdem)
Nun soll man folgendes ermitteln:
1) die Nullstellen im Intervall t∈[0;3]
2) die Gleichung der Asymptote
3) Art und Lage der Extrema im Intervall t∈[0;3]
4) Wendepunkte im Intervall t∈[0;3]
5) Berechnen der Durchgangsgeschwindigkeit dx/dt der gedämpften Schwingung für x=0
(was ist überhaupt eine "Durchgangsgeschwindigkeit"?)

Ich habe schonmal ein bisschen vorgerechnet, weiß aber auch nicht, ob ich richtig liege.
Bei 1) habe ich die Gleichung x(t)=0 gesetzt und komme dann auf t=0. Das heißt, ich komme auf folgende Nullstellen: x1=0 und x2=pi (x2 ist aber nicht mehr Element t und deswegen keine NS mehr)

Danke schonmal im Vorraus für eure Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Allgemeine Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Extrema / Terrassenpunkte
Krümmungsverhalten
Nullstellen
Nullstellen bestimmen

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Matheboss aktiv_icon

12:26 Uhr, 24.02.2012

1)

2 \cdot t = π

t_{2} = \frac{π}{2}

2)

Wenn Du die Funktion umschreibst

x (t) = \frac{1,5 \cdot sin (2 \cdot t)}{e^{0,3 \cdot t}}

und

t

gegen "Unendlich" gehen lässt, wechselt der Wert im Zähler zwischen

- 1,5

und

1,5,

(- 1 \leq sin (2 \cdot t) \leq 1)

.
Der Nenner wird "unendlich groß" und damit geht der Bruch gegen "Null".
Die waagerechter Asymptote ist dann

y = 0

3)

Extrempunkte heißt

x' (t) = 0 \land x'' (t) \neq 0

4)

Wendepunkte

x'' (t) = 0 \land x''' (t) \neq 0

(oder Krümmungsverhalten)

5)

Durchgangsgeschwindigkeit für

x = 0

heißt, die Geschwindigkeit, die der Körper bei Durchgang durch den Wert

x = 0

hat.
Geschwindigkeit

v (t) = x' (t)

eloraabeh aktiv_icon

13:44 Uhr, 24.02.2012

Danke Matheboss! Die Antwort hat mich schon ein bisschen weitergebracht.
Aber alle Fragen sind leider noch nicht geklärt. Der Lösungsweg ging mir fast ein bisschen zu schnell...

Wieso weiß man bei

1),

dass man 2⋅t=π setzen darf/muss um eine zweite NS zu erhalten? Und ist diese dann ∈t oder trotzdem nicht?
Muss man bei

2)

mit l'Hospital rechnen? Wenn ja, wie oft muss man dazu ableiten? Wenn nein, darf man einfach annehmen, dass

e^{- 0,3 t}

gegen Unendlich geht und damit das Ergebnis 0 wird? Und kann man dieses Ergebins dann einfach als Asymptotengleichung nehmen?

3)

Leider bin ich mit den Extrempunkten immer noch total überfordert... Muss ich da ableiten? Wenn ja, wie oft; wenn nein, was mache ich dann?

4)

Das mit den Wendepunkten ging auch über eine Ableitung, oder? Wenn ja, die wievielte war das nochmal?

5)

überfordert mich gerade noch vollständig. Wie weiß man das?

Entschuldigt bitte meine dummen Fragen, aber ich fange lieber bei Adam und Eva an, als am Schluss doch nichts verstanden zu haben^^'
Ich hoffe, ihr könnt mir trotzdem helfen! :-)

eloraabeh aktiv_icon

15:21 Uhr, 24.02.2012

Ich habe jetzt x abgeleitet und komme auf x'= $\frac{3 \cos (2 t) * e^{0, 3 t} + 0, 45 \sin (2 t) * {(e^{t})}^{0, 3}}{{(e^{0, 3 t})}^{2}}$

Stimmt das soweit? Kann man das noch weiter ableiten?

Matheboss aktiv_icon

15:21 Uhr, 24.02.2012

zu1)

sin (0) = 0 d . h

2 \cdot t = 0

also

t = 0

sin (π) = 0 d . h

2 \cdot t = π

also

t = \frac{π}{2}

sin (2 \cdot π) = 0

ist außerhalb Deines Def.

zu

2)

für

t

gegen Unendlich geht

e^{- 0,3 \cdot t}

gegen Null.
Deshalb habe ich den Bruch umgeschreiben, damit

e^{0,3 \cdot t}

für gegen Unendlich auch nach Unendlich geht.
L'Hospital ist nicht möglich, da die Voraussetzungen nicht vorhanden sind !
Erklärung für Grezwert siehe oben!

3)

Siehe oben!
Extremwerte erhält man, wenn man die 1.Ableitung

= 0

und den Wert in die 2. Ableitung einsetzt und nicht 0 erhält.

x' (t) = 0 \land x'' (t) \neq 0

Du solltest meine obige Antwort einmal sorgfältig durchlesen!

Außerdem Kenntnisse der Kurvendiskussion wären schon nötig.

Matheboss aktiv_icon

16:15 Uhr, 24.02.2012

Ich habe

x' (t) = \frac{3 \cdot cos (2 \cdot t) \cdot e^{0,3 \cdot t} - 0,45 \cdot e^{0,3 \cdot t} \cdot sin (2 \cdot t)}{{(e^{0,3} \cdot t)}^{2}}

Jetzt kannst Du noch ausklammern und

e^{... .}

kürzen.

x' (t) = \frac{3 \cdot cos (2 \cdot t) - 0,45 \cdot sin (2 \cdot t)}{e^{0,3} \cdot t}

jetzt nochmal ableiten!

Die Extremwert finde ich auch ohne Ableitung.

sin (\frac{π}{2}) = 1

also

2 \cdot t = \frac{π}{2}

t_{1} = \frac{π}{4}

und

sin (\frac{3}{2} \cdot π) = - 1

also

2 \cdot t = \frac{3}{2} \cdot π

t_{2} = \frac{3}{4} \cdot π

Nur die Wendepunkt gehen nur mit obigen Weg und für

5)

brauchst Du die Geschwindigkeit, also die 1. Ableitung

x' (t) = v (t)

eloraabeh aktiv_icon

16:51 Uhr, 24.02.2012

Vielen Dank für Deine Mühe und Geduld mit mir! Du hast mir sehr weitergeholfen!
Ich hoffe, ich kann es meiner Klasse auch so gut erklären :-)

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