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Aufleiten von e-Funktionen

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Funktionen

Tags: Aufleiten, e-Funktion, Exponentialfunktion, Stammfunktion

mathiasl aktiv_icon

23:27 Uhr, 08.05.2012

Hallo liebes Forum,

ich habe hier eine Aufgabe die ich einfach nicht lösen kann und hoffe auf eure Hilfe:

Ich soll beweisen, dass

F (x) = - 50 \cdot e^{- 0,02 \cdot x} - 2500 \cdot e^{- 0,02 \cdot x}

eine Stammfunktion von

f (x) = x \cdot e^{- \frac{1}{50} \cdot x + 0}

ist.

Ich habe die Funktion dazu bereits ein mal aufgeleitet und ich bin zur folgenden Lösung gekommen:

F (x) = \frac{x}{- 0,02} \cdot e^{- 0,02 \cdot x}

Nun zu meinen Fragen:
1. Ist meine erste Aufleitung richtig?

2. Ich denke, dass

F (x) = - 50 \cdot e^{- 0,02 \cdot x} - 2500 \cdot e^{- 0,02 \cdot x}

die Aufleitung von

F (x) = \frac{x}{- 0,02} \cdot e^{- 0,02 \cdot x}

ist. Liege ich damit richtig?

3. Wenn ich mit 2. richtig liege: Wie Leite ich nun

F (x) = \frac{x}{- 0,02} \cdot e^{- 0,02 \cdot x}

auf, um auf die Lösung zu kommen?

Ich brauche wirklich eure Hilfe. Ich finde zwar Hinweise darauf, dass die Aussage richtig sein muss, aber ich finde den Weg nicht.

Vielen Dank im Voraus.
Gruß
Mathias

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Stammfunktion
e-Funktion
ln-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pleindespoir aktiv_icon

23:30 Uhr, 08.05.2012

Wenn Du aufleitest, musst Du abgelitten haben

. .

.

Bitte vermeide die grausigen Bezeichnungen - es heisst Integrieren!

mathiasl aktiv_icon

09:53 Uhr, 09.05.2012

Hallo pleindespoir,

danke erstmal für den Hinweis. Ich habe den Wortlaut der Fragestellung wiedergegeben. Mir war nicht bewusst, dass es eine unbeliebte Formulierung ist... wieder was dazu gelernt.

Edddi aktiv_icon

10:04 Uhr, 09.05.2012

...hab keine Lust und Zeit deine "Aufleitungen" zu überprüfen. Aber wenn

F (x)

eine stammfunktion von

f (x)

sein soll, so muss die Ableitung von

F (x)

gleich

f (x)

sein.

F' (x) = f (x)

Also einfach nur mal die Stammfunktion ableiten

F (x) = - 50 \cdot e^{- \frac{1}{50} \cdot x} - 2500 \cdot e^{- \frac{1}{50} \cdot x}

F (x) = - 2550 \cdot e^{- \frac{1}{50} \cdot x}

F' (x) = - 2550 \cdot [e^{- \frac{1}{50} \cdot x}]'

F' (x) = - 2550 \cdot - \frac{1}{50} \cdot e^{- \frac{1}{50} \cdot x}

F' (x) = \frac{2550}{50} \cdot e^{- \frac{1}{50} \cdot x}

F' (x) = 51 \cdot e^{- \frac{1}{50} \cdot x}

...dies ist nicht identisch mit deiner

f (x)!

;-)

Edddi aktiv_icon

10:15 Uhr, 09.05.2012

...nun integriere ich dir noch

f (x) :

f (x) = x \cdot e^{- \frac{1}{50} \cdot x}

\int f (x) d x + C = \int x \cdot e^{- \frac{1}{50} \cdot x} d x + C

= - 50 \cdot x \cdot e^{- \frac{1}{50} \cdot x} + 50 \cdot \int e^{- \frac{1}{50} \cdot x} d x + C

= - 50 \cdot x \cdot e^{- \frac{1}{50} \cdot x} - 2500 \cdot e^{- \frac{1}{50} \cdot x} + C

...deine Stammfunktion ist jedoch:

F (x) = - 50 \cdot e^{- \frac{1}{50} \cdot x} - 2500 \cdot e^{- \frac{1}{50} \cdot x}

;-)

mathiasl aktiv_icon

20:24 Uhr, 09.05.2012

Hallo Edddi,

ersteinmal vielen Dank für deine Berechnung.

Leider verstehe ich etwas noch nicht. Bestimmt übersehe ich nur irgendeine Regel die es anzuwenden gilt.

Den zweiten Teil der Rechnung, also

+ 50 \cdot \int e^{- \frac{1}{50} \cdot x} d x + C

Wie kommt man an dieser Stelle auf die

+ 50

bzw. wie kommt man überhaupt da drauf, diesen zweiten Teil der Rechnung so zu berechnen?

Sorry wenn ich mich zu blöd anstelle.

Edddi aktiv_icon

21:30 Uhr, 09.05.2012

...partielle Integration.

\int u \cdot d v = u \cdot v - \int v \cdot d u

mit

d v = e^{- \frac{1}{50} \cdot x}

ist

v = - 50 \cdot e^{- \frac{1}{50} \cdot x}

setzt du dies dann in die rechte Seite ein, und ziehst es vor das Integral, so wird aus dem Minus eben eine

+ 50

;-)

mathiasl aktiv_icon

21:49 Uhr, 10.05.2012

Hallo nochmal,

danke für den Tipp mit der partiellen Integration. Leider kommt meine Freundin (für die ich hier schreibe) nicht weiter. Jetzt sucht Sie einen Nachhilfe Lehrer, der Ihr das ganze nochmal im Detail erklären kann.

Hat jemand interesse sich ein paar Euronen zu verdienen ?

pleindespoir aktiv_icon

22:27 Uhr, 10.05.2012

Für acht Euro die Stunde fahre ich doch gern mal 600km ...

Aber ohne Fahrt und Kohle ginge es, wenn Du ihr schreiben beibringst und sie selbst ihre Aufgäbchen postet.

kalli

23:58 Uhr, 10.05.2012

Die Aufgabenstellung verlangt doch gar nicht, dass eine Integration durchgeführt wird!!
Zeige einfach, dass

F' (x) = f (x)

gilt. Dann hat man gezeigt, dass

F

eine Stammfunktion von

f

ist. Das geht leichter und man benötigt die Partielle Integration gar nicht. Die Lösung wurde doch bereits angeboten und macht das Leben viel leichter und eine Nachhilfe wahrscheinlich unnötig...

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