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Bestimmen der Funktionsgleichung

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Funktionsgleichung, Punkt

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19:26 Uhr, 26.09.2009

Hi,
ich habe von einem Graphen zwei Punkte gegeben. Nun soll ich die quadratische Funktion in der Form

f (x) = a x^{2} + b x + c

erstellen.

P 1 (2 / 0)

und

P 2 (0 / - 8)

.
In die Zwei-Punkte-Form kann ich es nicht einsetzen, weil ich dann kein

x^{2}

bekomme. Wie kann ich die Aufgabe lösen?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Einführung Funktionen
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Hyperbeln
Potenzfunktionen - Fortgeschritten

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bruchspezialistin aktiv_icon

19:28 Uhr, 26.09.2009

Erstelle zwei Gleichungen in denen Du jeweils die Dir bekannten Punkte einsetzt.

Shipwater aktiv_icon

19:36 Uhr, 26.09.2009

Hallo

Und aus

P_{2}

kannst du

c

ja direkt ablesen.

Gruß Shipwater

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20:25 Uhr, 26.09.2009

Also

0 = a * 2^{2} + b * 2 + c

- 8 = a * 0^{2} + b * 0 + c

Und

c

wäre dann

- 8

?
Oder in welche Gleichung sollte ich das einsetzen?

bruchspezialistin aktiv_icon

20:27 Uhr, 26.09.2009

Das setzt Du nun in Deine erste Gleichung ein:

4 a + 2 b - 8 = 0

Hast Du wirklich nur 2 Punkte gegeben? Oder ist die Funktion symmetrisch? Sonst gibt es unendlich viele Lösungen.

Spieler5 aktiv_icon

20:32 Uhr, 26.09.2009

@TE:

Ist vielleicht von einer verschobenen Normalparabel die Rede? Dann wäre automatisch

a = 1

@ Bruchspezialistin: ähhh Symetrisch ist doch jede Quadratische Funktion.

bruchspezialistin aktiv_icon

20:33 Uhr, 26.09.2009

@Spieler5: Ja, ich meinte achsensymmetrisch zur y-Achse. Hätte mich präziser ausdrücken können.

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03:38 Uhr, 27.09.2009

"Von einer quadratischen Funktion

f

ist bekannt:
Der Graph hat mit den Koordinatenachsen nur die Punkte

P 1 (2 ∣ 0)

und

P 2 (0 ∣ - 8)

gemeinsam.
Geben Sie den Funktionsterm in der Form

f (x) = a x^{2} + b x + c

an."

bruchspezialistin aktiv_icon

06:16 Uhr, 27.09.2009

Dann hast Du:

4 a + 2 b - 8 = 0

\Leftrightarrow b = 4 - 2 a

Somit hast Du unendlich viele Möglichkeiten für

a, b,

die alle die Bedingung erfüllen, dass die Funktion quadratisch ist.

[

Einzige Bedingung:

a \neq 0,

denn sonst hast Du keine quadratische Funktion.

]

Im Anhang habe ich Dir drei mögliche Graphen aufgezeichnet.

a = 0.5 \to b = 3.0

a = 1.0 \to b = 2.0

a = 2.0 \to b = 0.0

RealName aktiv_icon

12:38 Uhr, 27.09.2009

Hi,
dann nehme ich

f (x) = x^{2} + 2 x - 8

. Weil ich was mit

x^{2}

haben möchte.
Kann man das bei solchen Aufgaben eigentlich immer so machen? Das man einfach

f (x) = x^{2}

und dann den Schnittpunkt mit der X-Achse nimmt und dahinter ein

x

schreibt. Bei dem

P_{1}

wäre der Schnittpunkt bei

2

, also

2 x

und dann den Schnittpunkt mit der f(x)-Achse. Bei

P_{2}

wäre der Schnittpunkt bei

- 8

und dann hat man

f (x) = x^{2} + 2 x - 8

. Oder war das nur ein Zufall?

magix aktiv_icon

10:19 Uhr, 29.09.2009

Ist zwar ein bisschen spät, um sich noch einzumischen, aber ihr habt nicht genau genug gelesen.

Da steht, dass die gegebenen Punkte die einzigen gemeinsamen Punkte mit den Koordinatenachsen sind. Damit gibt es nur noch eine einzige Lösung, bei der zwangsläufig

P_{1} (2 | 0)

der Scheitel der nach unten geöffneten Parabel sein muss. In allen Fällen, in denen der Scheitel nicht auf der x-Achse liegt, gäbe es nämlich zwei Schnittpunkte mit dieser.

Damit ergibt sich

f(x)=a(x-2)^2=ax^2-4ax+4a
und

c = 4 a = - 8

\Rightarrow a = - 2

f (x) = - 2 x^{2} + 8 x - 8

bruchspezialistin aktiv_icon

17:38 Uhr, 29.09.2009

Danke für den Hinweis. Da musste man wirklich genau lesen und leider war dieser Zusatz erst im späteren Verlauf mit Nachfragen hinzugekommen.

RealName aktiv_icon

19:40 Uhr, 29.09.2009

Ja sry, hätte ich villeicht gleich am Amfang schreiben sollen.
Aber ich verstehe nicht wie Du von

P_{1} (2 ∣ 0)

und

P_{2} (0 ∣ - 8)

auf

f (x) = a (x - 2)^{2} = a x^{2} - 4 a x + 4 a

c = 4 a = - 8

\Rightarrow a = - 2

kommst.
Könntest Du die Rechnung ein wenig erweitern? So das ich deine Schritte nachvollziehen kann?

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