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Beweis der Beschränktheit und der Monotonie einer

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Tags: Beweis, Folgen und Reihen, Funktion, Funktionalanalysis, Grenzwert, Induktion, Rekursion, Stetigkeit

 
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Weckann

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11:06 Uhr, 07.06.2017

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Hallo,

es gilt zu beweisen bzw zu prüfen, ob die folgende rekursive Funktion nach oben beschränkt und ob sie monoton steigend ist (mit Induktion)

f(0)=1

f(1)=7

f(n+1)=3⋅f(n)-2⋅f(n-1) für n≥1

Darf ich annehmen, dass f(n)≤f(n+1) (zum Beweis der Monotonie) und f(n) aus f(n+1) "herleiten" ? Also sprich:

3⋅f(n-1)-2⋅f(n-2)≤3⋅f(n)-2⋅f(n-1)

Und wie gehe ich weiter vor ?

Zum Nachweis der Beschränktheit wäre mein Ansatz hier:

∃C∈ℝ:C>0:∀n∈ℕ:(f(n)<C)

Also Induktionsannahme: f(n)<C

Induktionsschritt f(n+1)<C was ja 3⋅f(n)-2⋅f(n-1)<C entspricht. Jetzt f(n) aus der Annahme eingesetzt :

3⋅(3⋅f(n-1)-2⋅f(n-2))-2⋅f(n-1)<C

Bin ich auch hier auf dem Holzweg ? :-D)


Ich bin für jede Hilfestellung dankbar :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

11:11 Uhr, 07.06.2017

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Beweis der Monotonie per Induktion.
Basis der Induktion: f(0)<f(1) - stimmt.
Induktionsschritt. Sei f(n-1)<f(n).
Dann gilt f(n+1)=3f(n)-2f(n-1)=f(n)+2(f(n)-f(n-1))>f(n) nach Induktionsvoraussetzung. Also, f(n)<f(n+1). Induktionssschritt ist bewiesen.
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

11:13 Uhr, 07.06.2017

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Sie ist nicht beschränkt, wegen f(n+1)-f(n)=2(f(n)-f(n-1)). Die Abstände zwischen den Folgegliedern wachsen exponentiell.
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anonymous

anonymous

11:21 Uhr, 07.06.2017

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Anderer Gedankengang:
f(0)=1=3⋅20+1-5
f(1)=7=3⋅21+1-5
f(2)=19=3⋅22+1-5
usw.
Vermutung: f(n)=3⋅2n+1-5   ( Beweis VI )
Weckann

Weckann aktiv_icon

11:43 Uhr, 07.06.2017

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Vielen Dank für die Antworten, mir erschließt es sich nur noch nicht ganz, wie sich nach der Induktionsvorraussetzung

f(n+1)=3f(n)-2f(n-1)=f(n)+2(f(n)-f(n-1))>f(n)

ergibt
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

11:46 Uhr, 07.06.2017

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f(n-1)<f(n) => f(n)-f(n-1)>0 => f(n)+2(f(n)-f(n-1))>f(n)+0=f(n)
Frage beantwortet
Weckann

Weckann aktiv_icon

11:55 Uhr, 07.06.2017

Antworten
Jetzt hab ichs verstanden, vielen Dank, noch eine letzte kleine Frage, würde nicht theoretisch schon der Ausdruck f(n)+(f(n)-f(n-1))>f(n) reichen, da (f(n)-f(n-1))>0
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

12:55 Uhr, 07.06.2017

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Dein Ausdruck hat doch keine Beziehung zu der Aufgabe.
Der Trick war, die gegebene Formel f(n+1)=3f(n)-2f(n-1) richtig umzuformen.