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Beweise über C[0,1] mit der Supremumsnorm

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Funktionen

Funktionenfolgen

Grenzwerte

Stetigkeit

Tags: abgeschlossene Mengen, Abgeschlossenheit, Folgen und Reihen, Funktion, Funktionenfolgen, Grenzwert, Integral, Offenheit, Stetigkeit

gurke122 aktiv_icon

15:26 Uhr, 20.04.2019

Hi,

mir bereiten momentan zwei Aufgaben ziemliches Kopfzerbrechen (siehe Anhang).

Also bei der 7a würde ich intuitiv sagen, dass die Aussage stimmt. Mir ist allerdings nicht klar, wie ich das formal beweisen kann.

Zur Aufgabe 8:
Normalerweise beweist man Abgeschlossenheit ja beispielsweise indem man zeigt, dass das Komplement der Menge offen ist.
Mein Problem hierbei ist glaub ich, dass die Menge ja keine Zahlen oder Vektoren im 'gewöhnlichen' (R bzw. R^n) Sinne enthält, sondern Funktionen. Ich weiß daher nicht, wie ich das Kriterium für Offenheit hier nachweisen könnte.

Wäre also nett, wenn mir jemand Ratschläge geben könnte, wie man an solche Aufgaben rangehen kann.

Danke und Grüße
gurke122

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Einführung Funktionen
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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e-Funktion

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pwmeyer aktiv_icon

11:11 Uhr, 21.04.2019

Hallo,

ein formaler Beweis für

7 a

ergibt sich aus folgender Tatsache über Integrale:

| \int_{0}^{1} f (x) d x | \leq \int_{0}^{1} | f (x) | d x \leq {| | f | |}_{[0,1]}

Bei 8: Wenn man so vorgehen will, wie Du vorgeschlagen hast: Was wäre denn das Komplement von A?

Gruß pwm

gurke122 aktiv_icon

23:57 Uhr, 21.04.2019

Danke schonmal für die Antwort.

Woraus folgt denn die zweite Ungleichung?

Zur 8:

X \ A = {f \in C [0, 1] : \exists x \in [0, 1] : f (x) < 0}

pwmeyer aktiv_icon

12:00 Uhr, 22.04.2019

Hallo,

"Woraus folgt denn die zweite Ungleichung?"
Welche Beziehung / Abschätzung besteht denn zwischen

| f (x) |

und

| | f | |

?

Zeige, dass

X \ A

offen ist. Sei also

f \in X \ A

und

q := f (x_{0}) > 0

. Dann betrachte mal die Kugelumgebung von

f

mit dem Radius

r = \frac{1}{2} \cdot q

. Liegt die in

X \ A

?

Gruß pwm

gurke122 aktiv_icon

19:15 Uhr, 22.04.2019

Den Beweis der Abgeschlossenheit hab ich inzwischen, danke.

Zur 7:
Es gilt

∣ f (x) ∣ \leq ∥ f ∥_{[0, 1]}

für alle

x \in [0, 1]

wegen der Definition des Supremums.
Aber wieso folgt daraus auch, dass das Integral kleiner ist?
[EDIT: Okay, diese Frage hat sich geklärt, als ich kurz über das Integral nachgedacht habe.]

Wenn man diese Tatsache aber gezeigt hat, so folgt die Behauptung doch leicht aus dem Sandwich-Lemma, oder?

Hätte jemand bei der 7b noch eine Idee für mich?

pwmeyer aktiv_icon

21:05 Uhr, 22.04.2019

Hallo,

der Klassiker bei

7 b :

g_{n} (x) := \frac{1}{n} \cdot sin (n \cdot x)

Gruß pwm

gurke122 aktiv_icon

21:17 Uhr, 22.04.2019

Hey,

danke für die Hilfe.
Tatsächlich habe ich genau diese Funktion sogar selbst durch ausprobieren noch als Gegenbeispiel gefunden ;-)

Dankeschön und viele Grüße
gurke122

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