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Funktion durch Additionstheoreme herleiten

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Tags: Additionstheorem, Formeln, Trigonometrie, Trigonometrische Funktionen

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10:48 Uhr, 08.12.2020

Hi,
Ich muss in einer Aufgabe die Formel
Tan

x + cot x = \frac{2}{sin (2 x)}

mithilfe der Additionstheoreme beweisen. Also ich weiß dass tangens Gegenkathete durch ankathete ist und cotangens dass umgekehrte aber ich steh trotzdem auf dem Schlauch weil die Additionstheoreme sind ja für zwei Winkel wie Alpha und Beta. Kann mir bitte das wer erklären?
Vielen Dank im voraus schonmal

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Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
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Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Additionstheoreme

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Respon

10:54 Uhr, 08.12.2020

z . B

. so

. .

= \frac{sin (x)}{cos (x)} + \frac{cos (x)}{sin (x)} = \frac{{sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (x)}{sin (x) \cdot cos (x)} = . .

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11:01 Uhr, 08.12.2020

Kürzt sich der Zähler dann nicht weg? Oder wie macht man das dann?

Respon

11:03 Uhr, 08.12.2020

"kürzen" ? Nein !
Aber

{sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (x) = 1

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11:07 Uhr, 08.12.2020

Ok Warum der Nenner zwei ist verstehe ich aber warum

sin (2 x)

im Zähler?

Respon

11:10 Uhr, 08.12.2020

"Warum der Nenner zwei ist verstehe ich aber warum

sin (2 x)

im Zähler?"
???
Weder ist der Nenner 2 noch ist der Zähler

sin (2 \cdot x)

.
Was meinst du wirklich ?

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11:17 Uhr, 08.12.2020

tan x + cot x = \frac{2}{sin (2 x)}

. Das steht im Buch und soll ich durch die Additionstheoreme zeigen. Den Schritt

\frac{{sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (x)}{cos (x) \cdot sin (x)}

hab ich verstanden. Aber das bringt mich noch nicht zur Formel und ein Additionstheorem seh ich auch nicht. Oben steht dann ja im Grunde genommen 1 laut dem Pythagoras Satz aber weiter weiß ich nicht.

Respon

11:21 Uhr, 08.12.2020

Du hast den Ausgangsterm

tan (x) + c o t (x)

bereits umgeformt zu

\frac{1}{sin (x) \cdot cos (x)}

Und jetzt kommen die Additionstheoreme ins Spiel.
Du kennt sicher :

sin (α + β) = sin (α) \cdot cos (β) + cos (α) \cdot sin (β)

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11:28 Uhr, 08.12.2020

Also muss ich den gleichen Term nochmal addieren? Also

\frac{1}{sin (x) \cdot cos (x)} + \frac{1}{sin (x) \cdot cos (x)}

Respon

11:34 Uhr, 08.12.2020

Nein, dann würdest du ja den Wert des Terms verdoppeln und somit die ANGABE ändern!

sin (α + β) = sin (α) \cdot cos (β) + cos (α) \cdot sin (β)

Setzen wir nun

β = α

\Rightarrow

sin (α + α) = sin (α) \cdot cos (α) + cos (α) \cdot sin (α) = 2 \cdot sin (α) \cdot cos (α)

sin (2 \cdot α) = 2 \cdot sin (α) \cdot cos (α)

oder mit deinen Bezeichnungen:

sin (2 \cdot x) = 2 \cdot sin (x) \cdot cos (x)

\Rightarrow

sin (x) \cdot cos (x) = \frac{1}{2} \cdot sin (2 \cdot x)

Also

\frac{1}{sin (x) \cdot cos (x)} = \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot sin (2 \cdot x)} = . .

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11:44 Uhr, 08.12.2020

Ok aber

sin x \cdot cos x

ist doch nur eine Hälfte des theorems. Ich versteh nicht wieso man das Anwenden darf.

Respon

11:47 Uhr, 08.12.2020

\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot sin (2 \cdot x)} = . .

.
Darum habe ich ja auch die Punkte "

. .

. " gemacht, ein Schritt fehlt noch.

\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot sin (2 \cdot x)}

Erweitere diesen Bruchterm mit

2, d . h

. multipliziere Zähler UND Nenner mit 2.

\Rightarrow . .

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12:12 Uhr, 08.12.2020

Danke hast mir sehr geholfen.

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