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Funktionsterm der Funktion f

Schüler Kolleg, 11. Klassenstufe

Tags: Analysis, Extremwert, Integral, Wendepunkt

Anne0 aktiv_icon

11:13 Uhr, 21.01.2017

Hallo zusammen,

ich soll einen Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion aufstellen und weiß nicht wirklich wie ich das anstellen soll.

Also es eine Funktion des dritten Grades mit dem Hochpunkt (0/2) dem Wendepunkt bei (0/-3) dem Tiefpunkt bei (-2/-6) und die Nullstellen bei -4 und 2.

Was ich weiß ist das meine Funktion nachher so aussehen soll:

f(x)= Ax^3 + Bx^2 +Cx+D

Meine Idee ist, dass ich erst Ableitungen davon mache.

f'(x) = 3Ax^2 + 2Bx +C
f''(x) = 6Ax + 2B

Diese Ableitung würde ja zum Wendepunkt führen der bei (0 und-3) liegt. Aber wie stelle ich hier die Gleichung auf?

f''(0) = 6A*0 + 2B = -3

Das kann doch nicht richtig sein.

Wäre wirklich nett wenn mit hier jemand helfen könnte.

Liebe Grüße Anne

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Krümmungsverhalten
Wendepunkte

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Roman-22

11:22 Uhr, 21.01.2017

>

Das kann doch nicht richtig sein.
Ist es auch nicht.
Du bringst da zwei Dinge durcheinander.

Welchen Wert hat die zweite Ableitung an der Stelle

0,

wenn dort ein Wendepunkt vorliegt?
Welchen Wert hat

f (0),

wenn der Graph durch

(0 / - 3)

laufen soll.

Irgendwie hab ich den Eindruck, dass du Angabe und Lösungen durcheinander mischt, denn das, was du hier als gegegeben vorlegst, führt zu 8 Gleichungen. Das KANN trotzdem zu eine Polynomfunktion dritten Grades passen, MUSS aber nicht - es könnte sich sogar um eine Polynomfunktion von Grad 7 handeln.

Als was ist denn wirklich gegeben? Der Wendepunkt und der Hochpunkt allein sollten zB bereits reichen. Allerdings könne nicht beide an der Stelle

x = 0

liegen, so wie du das angegeben hast. Da scheint also ein weitere Angabefehler von dir zu sein.

Atlantik aktiv_icon

11:29 Uhr, 21.01.2017

Das kann nicht sein:

H(0|2)und

W (0 | - 3)

Versuche es mal mit der Nullstellenform der Parabel:

f_{a} (x) = a \cdot (x + 4) \cdot (x - 2)

mfG
Atlantik

Anne0 aktiv_icon

11:31 Uhr, 21.01.2017

Nach der Aufgabe ist der Hochpunkt (2/0) (sorry hier hatte ich mit im ersten Post verschrieben) gegeben sowie der Wendepunkt (0/-3) und die Angabe das es eine Funktion des dritten Grades sein soll.

Ich habe hier zu noch eine Zeichnung, deshalb auch die anderen Werte, die ich dann ja ablesen kann.

Der Wert bei f(0) muss -3 sein.

LG

Atlantik aktiv_icon

11:37 Uhr, 21.01.2017

Wenn ein Extremwert bei

N (2 | 0)

ist, gilt:

f_{a} (x) = a \cdot (x + 4) \cdot {(x - 2)}^{2}

mfG

Atlantik

Roman-22

11:38 Uhr, 21.01.2017

OK, du hast die anderen Punkte tatsächlich richtig von der Zeichnung abgelesen, aber trotzdem darfst du für die Rechnung nur das verwenden, was in der Angabe gegeben ist.
Der Tiefpunkt könnte ja auch bei

(- 1,9999 / - 6,00001)

liegen - so genau kannst du das nie ablesen.
Also, wie lauten nun deine Antworten auf meine oben gestellten Fragen? Es geht dabei um die Umsetzung der Angabe, dass

(0 / - 3)

ein Wendepunkt des Graphen der Funktion ist.
Dass

f (0) = - 3

gelten muss, hast du ja schon geschrieben. Wie schaut es jetzt also mit der zweiten Ableitung dort aus. Du hast ja eingangs richtig geschrieben, dass die zweite Ableitung zum Wendepunkt führt, hast dann aber fälschlicherweise

f'' (0) = - 3

angegeben.

Wenn ihr im Unterricht die Nullstellenform (vl unter dem Namen Vieta) besprochen und verwendet habt, dann kannst du auch Atlantiks Vorschlag näher treten - allerdings nicht mit der Gleichung, die er angegeben hat, denn die Tatsache, dass

- 4

eine Nullstelle ist, darf ja nach deiner letzten Aussage nicht verwendet werden, da das nicht Teil der Angabe ist, sondern nur von dir abgelesen wurde.

Wie habt ihr solche Aufgabe also üblicherweise im Unterricht behandelt?

P . S . :

Dass

(- 2 / - 6)

der Tiefpunkt sein muss, kann man hier sogar tatsächlich rasch aus der Angabe folgern, da der Graph eine Kubik immer punktsymmetrisch zum Wendepunkt ist und die Spiegelung des Hochpunkts

(2 / 0)

am Wendepunkt

(0 / - 3)

genau auf den (Tief)punkt

(- 2 / - 6)

führt. Aber ich denke nicht, dass von dir erwartet wird, dass du diesen Schluss so ziehst.

Anne0 aktiv_icon

11:52 Uhr, 21.01.2017

@ Roman-22

Diese Nullstellenform von Atllantik habe ich noch gar nicht gemacht und da ich keinen Unterricht habe sondern mir alles selber beibringen muss ist dies hier mein erster Versuch mit Hilfe von angegebenen Werten eine Funktion aufzustellen.

Was deine Frage angeht so muss

f(0) = -3

herauskommen. Oder bin ich jetzt vollkommen verwirrt???

@Atlantik vielen Dank für deine Hilfe ich werde mich nachher mit dieser Nullstellenform auseinandersetzten.

Lg Anne

Roman-22

12:00 Uhr, 21.01.2017

>

Was deine Frage angeht so muss

> f (0) = - 3

>

herauskommen.
Ja das ist richtig. Ich hatte erst überlesen, dass du das in deiner letzten Antwort ohnedies schon geschrieben hattest. Ich habe inzwischen meinen Text oben etwas editiert und ergänzt.

Mit

f (0) = - 3

haben wir also schon eine Gleichung für die Unbekannten

A, B, C

und

D :

f (0) = A \cdot 0^{3} + B \cdot 0^{2} + C \cdot 0 + D = - 3,

woraus sofort

D = - 3

folgt.

So einfach wirds nun in der Folge nicht immer sein (hier aber bei

B

doch), dass jede Gleichung sofort direkt auf eine Unbekannte schließen lässt, aber wenns passiert, dann freut man sich.

Da wir vier Unbekannte zu bestimmen haben, müssen wir aus der Angabe auch vier Gleichungen herauslesen und dürfen dabei nur die Angabeinformation (also Wende- und Hochpunkt) verwenden.

f (0) = - 3

besagt aber nur, dass der Graph der Funktion durch

(0 / - 3)

läuft. Wir wissen aber noch mehr über diesen Punkt, nämlich, dass er ein Wendnpunkt ist und du hast ja selbst geschrieben, dass die zweite Ableitung zum Wendepunkt führt. Was weißt du daher über

f'' (0)

Anne0 aktiv_icon

12:14 Uhr, 21.01.2017

Ich bin mir jetzt nicht sicher worauf du hinaus willst.

Roman-22

12:18 Uhr, 21.01.2017

Was hat ein Wendepunkt mit der zweiten Ableitung zu tun?

Anne0 aktiv_icon

12:23 Uhr, 21.01.2017

Der Wendepunkt ist das Ergebnis der 2. Ableitung.

f''(0) = -3

Roman-22

12:33 Uhr, 21.01.2017

>

Der Wendepunkt ist das Ergebnis der 2. Ableitung.

> f'' (0) = - 3

Nein! Wie oben schon gesagt, ist das falsch. Da hast du dir beim Selbststudium offenbar etwas Falsches eingelernt.

Es ist vielmehr so, dass an einer Wendestelle die zweite Ableitung Null ist! Man findet also bei gegebener Funktionsgleichung die Wendepunkte, indem man die zweite Ableitung bildet, Null setzt und dann nach

x

löst.

In deinem Fall kennen wir die Lösung, nämlich

x = 0

. An dieser Stelle muss die zweite Ableitung also Null sein:

f'' (0) = 0

f'' (0) = 6 \cdot A \cdot 0 + 2 \cdot B \cdot 0 = 0 \Rightarrow B = 0

Und wieder haben wir verdammtes Glück und bekommen sofort eine Unbekannte gelöst.

Und jetzt weiter mit dem Hochpunkt

(2 / 0)

. Auch aus dieser Information solltest du wieder zwei Gleichungen rauslesen können.

Anne0 aktiv_icon

12:48 Uhr, 21.01.2017

Ok,

der Extremwert errechnet sich aus der Nullsetzung der ersten Ableitung.

f'(2) = 0

f'(2) = A*2^2 + C= 0 (B habe ich raus gelassen da B ja 0 ist)

Roman-22

13:05 Uhr, 21.01.2017

>

der Extremwert errechnet sich aus der Nullsetzung der ersten Ableitung.
Richtig, jetzt fehlt uns noch eine letzte Gleichung, die du ebenfalls aus der Tatsache, dass

(0 / 2)

Kurvenpunkt ist, bekommst.

Allerdings hast du für

f' (2) = 0

nicht korrekt in die erste Ableitung eingesetzt.

Dein

A \cdot 2^{2} + C = 0

ist nicht ganz richtig.

Anne0 aktiv_icon

13:15 Uhr, 21.01.2017

Gut

Hier muss ich erneut auf die 2. Ableitung zurückkommen. Da ich hier die Art bestimmen muss und ja ein Maximum habe.

f''(2)=6A*2 < 0

Roman-22

13:22 Uhr, 21.01.2017

>

Hier muss ich erneut auf die 2. Ableitung zurückkommen. Da ich hier die Art bestimmen muss und ja ein Maximum habe.
Nein! Die Information, dass es sich bei

(2 / 0)

um einen ein Tiefpunkt und keinen Hochpunkt handelt, spielt hier weiters keine Rolle. Genau genommen ist diese Information eigentlich schon zu viel und sollte gar nicht in der Angabe stehen. Es reicht, wenn wir wissen, dass in diesem Punkt die Tangente waagrecht und somit die erste Ableitung Null ist.

Hast du einen Fehler beim Einsetzen in die erste Ableitung schon gefunden?

Hast du schon berücksichtigt, das

(2 / 0)

einfach auch nur ein Punkt auf der Kurve ist?

Anne0 aktiv_icon

13:23 Uhr, 21.01.2017

Nein, ich weiß im Moment überhaupt nicht mehr weiter.

Roman-22

13:26 Uhr, 21.01.2017

Du hattest die erste Ableitung ja eingangs bereits richtig mit

f' (x) = 3 \cdot A \cdot x^{2} + 2 \cdot B \cdot x + C

angegeben und zuletzt beim Einsetzen von

x = 2

die führende 3 verloren. Richtig ist daher

12 \cdot A + C = 0

Was die vierte Gleichung anlangt, so vergiss mal, dass es sich um einen Hochpunkt handelt und verwerte nur die Information, dass der Punkt

(2 / 0)

auf dem Funktionsgraphen liegt. So hast du es beim Wendepunkt ja auch gemacht

(f (0) = - 3)

um eine zweite Gleichung zu erhalten.

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