Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Grenzwert Lebesgue-integrierbare Funktion gegen 0

Grenzwert Lebesgue-integrierbare Funktion gegen 0

Universität / Fachhochschule

Maßtheorie

Tags: Grenzwert, Integral, Lebesgue-integrierbar, Maßtheorie, parameterabhängig, stetig differenzierbar

Dreemer aktiv_icon

19:28 Uhr, 11.11.2022

Moin Leute,

ich bin hier mit einer Aufgabe, von der meine Übungsgruppenleitung behauptet, dass ich sie "easy" lösen könnte. Ich weiß nicht, ob sie mich da überschätzt oder ob ich mich einfach nur dämlich anstelle. Hier ist schon mal die Aufgabe:

Aufgabe 4 (Parameterabhängige Integrale)

(a) Sei

f : [0, \infty) \to ℝ

stetig differenzierbar derart, dass sowohl

f

als auch

f^{ʹ}

auf

[0, \infty)

Lebesgue-integrierbar sind. Zeigen Sie, dass dann

lim_{x \to \infty} f (x) = 0

gilt.

___

Soweit hatte ich Folgendes probiert:
Da

f

und

f^{ʹ}

auf

[0, \infty)

Lebesgue-integrierbar sind, sind sie auch Riemann-integrierbar, wobei die Werte beider Integrale identisch sind. Insbesondere gilt

\int_{0}^{\infty} ∣ f ∣ d x < \infty und \int_{0}^{\infty} ∣ f^{ʹ} ∣ d x < \infty, aber auch ∣ f ∣ = f, ∣ f^{ʹ} ∣ = f^{ʹ}

Da sich die Aufgabe auf parameterabhängige Integrale beziehen soll, kann insbesondere folgendes betrachtet werden: Es gilt

f (x) = \int_{0}^{x} f^{ʹ} (t) d t .

f

Lebesgue-integrierbar ist, existiert dann auch ein

a \in ℝ

mit

\int_{0}^{\infty} f (x) d x = lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} \int_{0}^{x} f^{ʹ} (t) d t d x = a .

Ab hier weiß ich nicht so recht weiter. Vielleicht muss was mit der Ableitung gemacht werden? Ich bin mir nicht sicher, wie ich so auf die zu zeigende Aussage kommen soll. Übersehe ich da etwas Offensichtliches? Ich hoffe, dass ihr mir weiterhelfen könnt. ^^

LG

Alex

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Berechnung eines Flächenstücks

Wie bestimmt man eine Fläche mit dem Integral?

Wie bestimmt man die Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion, der x-Achse und zwei Grenzen a und b?

Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

Integrieren mit Substitution

Wie integriert man mithilfe der Substitution?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

Stammfunktion einer Exponentialfunktion

Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer Exponentialfunktion?

Stammfunktion einer Logarithmusfunktion

Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer Logarithmusfunktion?

Stammfunktion einer Polynomfunktion

Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer Polynomfunktion?

Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer ganzrationalen Funktion?
Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer Potenzfunktion?

Stammfunktion einer gebrochen-rationalen Funktion

Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer gebrochen-rationalen Funktion?

HAL9000

21:50 Uhr, 11.11.2022

Na so easy ist sie wohl doch nicht, ansonsten hätte sich wohl jemand schon zu Wort gemeldet.

Beweisidee: Aus der Integrierbarkeit von

f^{ʹ}

folgt für

g (t) := \int_{t}^{\infty} ∣ f^{ʹ} (x) ∣ d x

der Grenzwert

lim_{t \to \infty} g (t) = 0

. Nun ist

g (t)

aber die Totalvariation der Funktion

f

im Intervall

[t, \infty)

, speziell gilt

g (t) \geq sup_{x \in [t, \infty)} f (x) - inf_{x \in [t, \infty)} f (x) \geq 0

.

Im Grenzübergang

t \to \infty

bedeutet dieses Sandwich

0 \geq \underset{x \to \infty}{limsup} f (x) - \underset{x \to \infty}{liminf} f (x) \geq 0

,

und somit die Existenz des Grenzwertes

lim_{x \to \infty} f (x) = : a

. Jeder Wert

a \neq 0

widerspricht aber

\int_{0}^{\infty} ∣ f (x) ∣ d x < \infty

(die Begründung überlasse ich dir), daher bleibt nur

a = 0

übrig.

Punov aktiv_icon

21:55 Uhr, 11.11.2022

Hallo,

ich würde gerne folgende Idee(-skizze) vorschlagen.

Es gilt wegen des Hauptsatzes der Integralrechnung

f (x) = f (0) + \int_{0}^{x} f ʹ (t) d t

.

Grenzwertbildung auf beiden Seiten:

lim_{x \to \infty} f (x) = f (0) + \int_{0}^{\infty} f ʹ (t) d t = c \in ℝ

, weil

f ʹ

Lebesgue-integrierbar ist

Aus der Lebesgueintegrierbarkeit von

f

folgt

c = 0

.

EDIT: HAL9000 war schneller und besser. Aber vielleicht ist's trotzdem hilfreich.

Dreemer aktiv_icon

16:22 Uhr, 12.11.2022

Hallo,

erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort; ich war leider bis vor kurzem mit einem Blockseminar beschäftigt.

Ich will zunächst anmerken, dass wir in der Vorlesung zu Analysis 3, die ich besuche, aktuell nicht besonders weit in der Integrationstheorie sind. Nach der Definition des Lebesgue-Integrals haben wir wichtige Konvergenzaussagen (monotone Konvergenz, Fatou, majorisierte Konvergenz) und anschließend das Prinzip von Cavalieri sowie den Satz von Fubini kennengelernt.

Dementsprechend bin ich mir nicht sicher, ob ich tatsächlich über Riemann-Integrale argumentieren kann (mit meiner Behauptung, dass ich Riemann-Integrale verwenden kann, liege ich nicht ganz richtig, da durch die gegebene Stetigkeit das Integrabilitätskriterium nur in kompakten Intervallen gegeben ist).

Des Weiteren sagt mir der Begriff der Totalvariation nicht wirklich was. Was kann ich darunter verstehen?

HAL9000

17:01 Uhr, 12.11.2022

Die Totalvariation einer Funktion

f

auf einem Intervall

[a, b]

ist

sup {\sum_{k = 1}^{n} ∣ f (x_{k}) - f (x_{k - 1}) ∣ ∣ \forall n \in ℕ, a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n} = b}

(salopp gesagt werden alle Aufs und Abs der Funktion betragsmäßig aufaddiert). Bei "normalen" stetigen Funktionen (d.h. mit nur endlich vielen lokalen Extrema) erreicht man dieses Supremum für diejenigen Zerlegungen, wo man als Zerlegungspunkte

x_{k}

die lokalen Extremstellen wählt.

Dreemer aktiv_icon

17:58 Uhr, 12.11.2022

Alles klar, vielen Dank für diese Info!

Jetzt noch zur Aussage bezüglich

lim_{x \to \infty} = : a

, nämlich dass nur

a = 0

in Frage kommt, weil

a \neq 0

der Aussage

\int_{[0, \infty]} ∣ f ∣ λ < \infty

widersprechen soll:

Die Intuition der Aussage - solange ich mich nicht irre - ist wohl, dass die "Fläche" der Funktion im Betrag für

x \to \infty

im Fall

lim_{x \to \infty} f (x) = a \neq 0

divergieren muss; es gibt also immer eine Fläche unterhalb der Funktion, die aufaddiert wird. Ich habe jedoch Schwierigkeiten damit, dies passend umzuformulieren.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1563009

1562974

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?