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Integral sin(ln(x)) ?

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: cos, Integration, Partielle Integration, Sinus, Substitution

ThoMak aktiv_icon

19:39 Uhr, 20.01.2019

Hallo, könnte mir bitte jemand den Lösungsweg für das Integral von

sin (ln (x))

schildern. Ich habe zuerst die Substitution angewandt und als Lösung Integral von sin(s)*x*ds bekommen. Nun habe ich partielle integriert.

Meine finale Lösung ist:

x \cdot sin (ln (x)) - cos (ln (x)) + c

Laut Integralrechner muss das ganze aber noch durch 2 geteilt werden.

Was ist mein Fehler?

Beste Grüße und vielen Dank :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ledum aktiv_icon

19:53 Uhr, 20.01.2019

Hallo
wie sollen wir deinen Fehler finden wenn du deine Rechnung nicht zeigst? der Integralrechner zeigt doch die Schritte?
Gruß ledum

ThoMak aktiv_icon

20:01 Uhr, 20.01.2019

Das ist richtig aber der Integralrechner zeigt einen komplett anderen Weg, welchen ich nicht nachvollziehen kann.

∫

sin (ln (x)) d x =

∫

sin (s) \cdot x \cdot

s = ln (x)

ds/dx

= \frac{1}{x}

d x = x \cdot

ds

Nun habe ich partiell integriert.

x \cdot - cos (s) -

∫

- cos (s) \cdot 1

x \cdot (- cos (s)) + sin (s)

Nun rücksubstituieren

x \cdot (- cos (ln (x)) + sin (ln (x))

So das war mein bisheriger Rechenweg. :-)

rundblick aktiv_icon

20:12 Uhr, 20.01.2019

.
" Nun habe ich partielle integriert. "

\to

ja und zwar vermutlich zweimal..
.. dann bekommst du auf der rechten Seite ein Restintegral der Form

- \int sin (ln (x)) d x

.. das bringst du auf die linke Seite - dort steht das Ding ja auch schon rum

\to

damit
.. hast du dann links zweimal das gesuchte Integral

.. und was musst du wohl dann noch machen, um das Ergebnis für einmal das Integral zu
.. erhalten?

ok?
.

ThoMak aktiv_icon

20:23 Uhr, 20.01.2019

Hmm...ich hab tatsächlich nur einmal partiell integriert.

x

⋅ −cos(s) − ∫ −cos(s) ⋅ 1 ds

Die 1 habe ich als Faktor vorgezogen und dann nur noch das Integral von

- cos (s)

gebildet. Hätte ich ∫

- cos (s) \cdot 1

auch partiell integrieren sollen oder wo liegt mein Fehler?

ThoMak aktiv_icon

20:29 Uhr, 20.01.2019

Liegt der Fehler vielleicht darin, dass ich

x

erstmal umformen muss bevor ich integriere? Also nach

e^{s},

da ich ja nicht nach

x

sondern nach der Substitution nach

s

integriere?

rundblick aktiv_icon

21:00 Uhr, 20.01.2019

\int sin (ln (x)) \cdot d x

Substitution

\to s = ln (x) . .

\to d x = x \cdot

= e^{s}

\Rightarrow \int e^{s} \cdot sin (s) \cdot

ds

einmal partiell

\Rightarrow (u = sin (s) .

. u´=cos(s)

. .; .

. v´=

e^{s} .

v = e^{s}

\int

v´

u

= = u \cdot v - \int

u´

v

. .

\to

\int e^{s} \cdot sin (s) \cdot

= e^{s} \cdot sin (s) - \int e^{s} \cdot cos (s) \cdot

ds

das rechts verbleibende Integral muss

ν

erneut partiell misshandelt werden ..

also?..
.

ThoMak aktiv_icon

21:02 Uhr, 20.01.2019

Passt danke sehr! Mein Fehler war, dass ich nur das

x \cdot

ds stehen gelassen habe statt dem

e^{s}

1456133

1456110

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