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Kann Sinusfunktion einen Grenzwert haben?
Universität / Fachhochschule
Folgen und Reihen
Tags: Folgen, Funktion, Sinus
 
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Kann eine Funktion mit einem Sinus ala sin(x)/x die sich um die X-Achse schlängelt einen Grenzwert an x^=0 haben? Die konvergiert ja nicht sondern divergiert bestimmt. Mein Ansatz: Um zu überprüfen ob eine FUnktion einen Grenzwert an x^ hat, muss man eine Folge xn bauen die gegen x^ konvergiert. Eine Folge kann ja gegen 0 konvergieren wenn sie 1/n ist oder wenn sie 1/(2*PI*n) ist genauso. Meine Aufschriebe sagen mir, dass sich Sachen mit 2*PI empfehlen bei allem was mit Sinus oder Cosinus zu tun hat. Da das die Periode von denen ist. Sehr viel mehr Grundwissen habe ich allerdings nicht über Sinus und Cosinus. Meine Ausführung: f(x) = sin(x)/x x^ = 0 xn = 1/2*PI*n f(xn) = (sin(1/(2*PI*n))/(1/(2*PI*n))) = 2*PI*n*sin(1/(2*PI*n)) Da der Sinus wie schon geschrieben periodisch 2*PI ist, kann man das 2*PI*n am Anfang weglassen, da eh immer das gleiche Ergebnis raus kommt egal wie oft man n einsetzt?? Dann bleibt noch sin(1/(2*PI*n)) übrig. Das killt mich jetzt. Weil das Ergebnis ja mit dem Sinus berechnet wird, kommt da ja nix gescheites raus was bestimmt konvergiert sondern es schwingt um die X-Achse. Habe die beiden Kurven mal noch angehängt.   Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Sinus (Mathematischer Grundbegriff) Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff) Wichtige trigonometrische Werte Additionstheoreme Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Rechenregeln Trigonometrie Allgemeine Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff) Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff) Wichtige Grenzwerte Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Definition von Sinus, Kosinus und Tangens Einführung Funktionen Sinus und Kosinus für beliebige Winkel |
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Hallo, , das kann man geometrisch begründen oder auch mittels Reihenentwicklung direkt sehen. Gruß Rentnerin |
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Also ist der Grenzwert in diesem Fall der tatsächliche Wert den der Sinus an der Stelle 0 hat? |
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Aber hallo, . |
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Also den zündenden Funken hatte ich leider noch nicht. Man kann ja nicht durch 0 teilen. Deshalb soll x ja nur gegen 0 gehen, anstatt 0 zu sein. Wenn nun x -> 0 geht wird ja der Nenner immer mehr zu null und das Ergebnis des Sinus ebenfalls. Da also Zähler und nenner gleichermaßen gegen Null gehen kann man das quasi kürzen und es kommt 1 raus? Wenn man größere Werte (etwa 0.000001) einsetzt kommt auch direkt 1 heraus. Ich weiß nur nicht, ob das einsetzen von großen Werten "wissenschaftlich" genug ist :-) |
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Für diesen Fall gibt es die Regel von l'Hospital, den Beweis findet man sicher bei Wikibooks. Also . ;-) |
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Vielen Dank euch beiden! Ich habs glaube ich jetzt kapiert und konnte auch die anderen Aufgaben rechnen :-) |
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