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Komplexes Polynom faktorisieren

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: faktorisieren, Komplex, Nullstellen, polynom

Lidia86 aktiv_icon

20:02 Uhr, 12.02.2010

Hallo!!

Ich stehe nun schon seit einiger Zeit vor der Aufgabe

"Zerlegen Sie

X^{2} + x + 1

ℂ [X]

in Linearfaktoren".

Mir ist nicht klar, wie man komplexe Nullstellen berechnen bzw. "erraten" kann. Ich hoffe mir kann jemand einen guten Tipp geben, der mir weiterhilft.

Vielen Dank
Lidia

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Faktorisieren (Linearfaktorzerlegung)
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Nullstellen
Nullstellen bestimmen
Polynomdivision

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Shipwater aktiv_icon

20:09 Uhr, 12.02.2010

x^{2} + x + 1 = 0

x^{2} + x + 0,25 = - 0,75

{(x + 0,5)}^{2} = - 0,75

x + 0,5 = \pm \sqrt{- 0,75}

x + 0,5 = \pm \sqrt{0,75} i

x_{1,2} = - 0,5 \pm \sqrt{0,75} i

x_{1} = - 0,5 + \sqrt{0,75} i

x_{2} = - 0,5 - \sqrt{0,75} i

\Rightarrow x^{2} + x + 1 = [x - (- 0,5 + \sqrt{0,75} i)] [x - (- 0,5 - \sqrt{0,75} i)] = (x + 0,5 - \sqrt{0,75} i) (x + 0,5 + \sqrt{0,75} i)

Lidia86 aktiv_icon

20:42 Uhr, 12.02.2010

Vielen Dank für den ausführlichen Lösungsweg, gibt es hierbei kanonische Regeln die man beachten muss, damit man best/schnellstmöglich zum Ergebnis kommt?

Lidia

Shipwater aktiv_icon

20:46 Uhr, 12.02.2010

Weiß jetzt nicht wovon du sprichst, aber mit der PQ-Formel hätte man die Nullstellen schneller ermitteln können.

Lidia86 aktiv_icon

21:11 Uhr, 12.02.2010

Danke, kannst du mir sagen warum hierbei die Mitternachtsformel nicht funktioniert?

Shipwater aktiv_icon

21:11 Uhr, 12.02.2010

Warum sollte sie nicht funktionieren? Wäre auch eine Möglichkeit.

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