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Konvergenz/Divergenz von cos + i*sin Folge

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Cosinus, divergenz, Eulersche Zahl, Folge, Folgen und Reihen, Konvergenz, Sinus

kitenum aktiv_icon

19:31 Uhr, 20.07.2017

Hallo,

Die Folge

c_{n} := \cos \frac{n π}{3} + i \cdot \sin \frac{n π}{3}

soll auf Konvergenz bzw. Divergenz untersucht werden.

Ich weiß, dass

\cos \frac{n π}{3} + i \cdot \sin \frac{n π}{3} = e^{i \cdot \frac{n π}{3}}

aber ab hier komme ich nicht weiter.

Weiter umformen bringt:

e^{i \cdot \frac{n π}{3}} = e^{2 i π \cdot \frac{n}{6}} = {(e^{2 i π})}^{\frac{n}{6}} = 1^{\frac{n}{6}} = 1

Nach WolframAlpha divergiert die Folge aber, nur weiß ich nicht wo ich falsch umgeformt habe.

Wie muss man also bei so einer Folge vorgehen?

MfG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Logarithmusgesetze - Einführung
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

rundblick aktiv_icon

19:46 Uhr, 20.07.2017

c_{n} = cos (n \cdot \frac{π}{3}) + i \cdot sin (n \cdot \frac{π}{3})

Vorschlag:

schreibe dir mal zB die ersten

13

usw.. Folgenglieder konkret auf

c_{1} = \frac{1}{2} \cdot (1 + i \cdot \sqrt{3})

c_{2} = \frac{1}{2} \cdot (- 1 + i \cdot \sqrt{3})

c_{3} = - 1

.
.
.

c_{7} = \frac{1}{2} \cdot (1 + i \cdot \sqrt{3})

.
.
.
usw

und finde heraus, was Häufungspunkte (wieviele / welche ?)
und Divergenz einer Folge miteinander zu tun haben ..

und nebenbei:

\to

das was du nach

\to

"Weiter umformen bringt: ..."
stehen hast
ist sowas von falsch ,ja geradezu haarsträubender Unsinn..
.
.

kitenum aktiv_icon

20:19 Uhr, 20.07.2017

Das meine Umformung kompletter Unfug ist ist mir auch aufgefallen :-))

Habe mir jetzt die zwei Teilfolgen

(c_{j})

und

(c_{k})

mit

j = 2 \cdot 3 n

und

k = 3 (2 n + 1)

angeschaut:

lim_{n \to \infty} c_{j} = lim_{n \to \infty} \cos \frac{2 \cdot 3 n π}{3} + i \sin \frac{2 \cdot 3 n π}{3} = lim_{n \to \infty} \cos 2 n π + i \sin 2 n π = 1 + 0 i = 1

lim_{n \to \infty} c_{k} = lim_{n \to \infty} \cos \frac{3 (2 n + 1) π}{3} + i \sin \frac{3 (2 n + 1) π}{3} = lim_{n \to \infty} \cos (2 n + 1) π + i \sin (2 n + 1) π = 0 - 1 i \neq 1

Weil zwei Teilfolgen von

(c_{n})

gegen unterschiedliche Grenzwerte konvergieren divergiert die Folge

(c_{n})

.

Stimmt das so?

rundblick aktiv_icon

20:26 Uhr, 20.07.2017

.
"Habe mir jetzt die zwei Teilfolgen "

\to

falsch - du hast einige mehr..

warum gehst du nicht auf den gemachten Vorschlag ein ?
oder kannst du einfach nur auf zwei zählen ("binär"?)
also beginne sorgfältiger zu arbeiten und mitzudenken

.

kitenum aktiv_icon

20:41 Uhr, 20.07.2017

Ich bin doch auf den Vorschlag eingegangen indem ich mir Teilfolgen anschaue.
Mit "die" meinte ich nicht genau die zwei Teilfolgen der Folge sondern einfach zwei aus der Menge der Teilfolgen, die eben die Eigenschaft haben gegen unterschiedliche Werte zu konvergieren. Nach Definition konvergiert eine Folge genau dann, wenn jede Teilfolge konvergiert und der Grenzwert der Folge mit den Grenzwerten ihrer Teilfolgen übereinstimmt.
Also reichen diese zwei Teilfolgen als Gegenbeweis aus oder nicht?

rundblick aktiv_icon

20:50 Uhr, 20.07.2017

.
"Also reichen diese zwei Teilfolgen als Gegenbeweis aus "

. .

< .

. JA

aber es wäre trotzdem schön, wenn du etwas über den Rand hinausschaust

\to

deine Folge nimmt nämlich überhaupt nur genau 6 diskrete Werte an
und das sind auf dem Einheitskreis

| z | = 1

die 6 Eckpunkte
des inbeschriebenen regelmässigen Sechsecks (beginnen zB mit der Ecke

c_{6} = 1)

kitenum aktiv_icon

21:00 Uhr, 20.07.2017

Achso das war damit gemeint.

Danke dir!

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