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Minimaler Abstand Punkt-Parabel

Schüler Gymnasium,

Tags: kürzester Abstand, Parabel, Punkt

Maikii8 aktiv_icon

20:04 Uhr, 16.09.2013

Hey Leute,

ich bin neu hier und hoffe ihr könnt mir helfen.

Mein Problem ist diese Aufgaben:

"Welcher Punkt

P

auf der Parabel

y = 0,5 x^{2}

hat den Kürzesten Abstand vom Punkt Q(6/0)."
Als Hilfe hab ich die Abststandsformel:

d = \sqrt{(}

xp-xQ

)^{2} + (

yp-yQ

)^{2})

Wenn man die Punkte einsetz müsste das ja so aussehen:

d = \sqrt{{(x - 6)}^{2} + {(0,5 x^{2} - 0)}^{2}}

Jetzt weiß ich nicht mehr weiter...

Es wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Schnittpunkte zweier Parabeln bestimmen
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Stephan4

20:32 Uhr, 16.09.2013

Extremwert suchen:
Die Ableitung von

d (x) = 0

Einfacher:

d^{2}

ableiten, denn das ändert den Extremwert nicht, aber die Wurzel ist weg.

Ergebnis: Gleichung 3. Grades,

x

ausprobieren. Es ist eine ganze Zahl, das kann ich verraten.

Maikii8 aktiv_icon

14:36 Uhr, 17.09.2013

hey danke :-)

jetzt habe ich

d

abgeleitet und dieses Ergebnis raus:

d' = x^{3} + 2 x - 12

Ich hoffe das ist richtig.

Und was muss ich jetzt machen?

LG

Atlantik aktiv_icon

15:24 Uhr, 17.09.2013

f

(x) = x

Steigung der Normalen ist somit

- \frac{1}{x}

Geradengleichung durch

P (6 | 0)

\frac{y - 0}{x - 6} = - \frac{1}{x}

y = - \frac{1}{x} (x - 6)

Schneiden mit

f (x) = 0,5 x^{2}

0,5 x^{2} = - \frac{1}{x} (x - 6) | \cdot x

0,5 x^{3} = - x + 6 | \cdot 2

x^{3} + 2 x - 12 = 0

Die Nullstelle ist

x = 2

Polynomdivision ergibt:

x^{2} + 2 x + 6

Das hat nun keine Nullstelle mehr.

Somit ist

x = 2

und

y = 2

der gesuchte Punkt auf der Parabel.

mfG

Atlantik

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Stephan4

15:53 Uhr, 17.09.2013

Maikii,
Deine Frage:
"Und was soll ich jetzt machen? "
habe ich eigentlich bereits beantwortet:

"Ergebnis: Gleichung 3. Grades,

x

ausprobieren. Es ist eine ganze Zahl, das kann ich verraten."

Kurz: Ausprobieren!

Atlantik hat sich da auch ausgeschwiegen, also: Ausprobieren!, oder Graph zeichnen, Nullstelle vermuten und Ausprobieren!

Probier es mal. LOL

Maikii8 aktiv_icon

19:55 Uhr, 17.09.2013

Hey Atlantik,

danke für die ausführliche Antwort. Die Lösung hatte ich zwar auch raus, aber jetzt hab ich den richtigen Rechenweg verstanden :-)

LG

Maikii8 aktiv_icon

20:00 Uhr, 17.09.2013

Hi Stephan,

danke für deine Rückmeldung. Die Lösung hatte ich, aber ich brauchte den richtigen Rechenweg um es zu beweisen, da ich schon viele Sachen ausprobiert hatte ;-)
Aber jetzt ist ja meine Frage beantwortet :-D)

LG

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