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Mit Scheitelpunkt Nullstellen ausrechnen (Parabel)

Schüler Berufsschulen, 12. Klassenstufe

Tags: Parabel

Frieda1 aktiv_icon

20:01 Uhr, 21.10.2008

Hallo,

ich habe folgendes Problem . In der Aufgabe ist der Scheitelpunkt (1/-3) gegeben und ein Punkt der Parabel (3/5). Nun soll ich die Nullstellen ausrechnen.

Meine Frage lautet? Stimmt es, dass ich b und c habe? ich kann diese aber als solches nicht verwenden weil sie der Scheitelpunktsform entnommen wurden sind und die -3 durch den Steigungsfaktor beeinflusst sein könnte wenn a nicht gleich 1 ist?

den x und y wert aus dem Punkt der Parabel müsste ich aber benutzen können?

Wäre sehr nett wenn mir jemand helfen könnte!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Schnittpunkte zweier Parabeln bestimmen
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Frieda1 aktiv_icon

20:29 Uhr, 21.10.2008

Ich brauche bitte unbedingt Hilfe dabei! Bitte!

anonymous

20:57 Uhr, 21.10.2008

Hallo,

ich weiss, du willst nur ne Lösung.
Hier ist meine :

x_{1 / 2} = 1 + \sqrt{\frac{3}{2}}

Trotzdem, so bin ich drauf gekommen (falls ich mich verrechnet hab...) :
Parabelgleichung :

f (x) = a x^{2} + b x + c

Scheitelpunkt ist da, wo die 1. Abl. Null ist, d.h.

f ʹ (x) = 2 a x + b

\overset{}{\Rightarrow} 2 a x + b = 0 \overset{}{\Rightarrow} x = - \frac{b}{2 a}

und der Scheitelpunkt ist bei

x = 1 \overset{}{\Rightarrow} b = - 2 a

Nun den Scheitelpunkt in die Fkt.Gl. einsetzen :

f (1) = - 3 \overset{}{\Rightarrow} a + b + c = - 3

Nun b ersetzen :

(b = 2 a)

- a + c = - 3

Nun den anderen Punkt der Parabel einsetzen :

f (3) = 5 \overset{}{\Rightarrow} 9 a + 3 b + c = 5

Wieder b ersetzen :

3 a + c = 5

Jetzt hast du zwei Gl. und zwei Unbekannte. Das lässt sich lösen.
Dann hast du

f (x) = 2 x^{2} - 4 x - 1

Jetzt noch mit Hilfe der pq-Formel (vorher durch 2 div!) die Nullstellen ausrechnen.

Frieda1 aktiv_icon

17:13 Uhr, 22.10.2008

Dankeschön!

Frieda1 aktiv_icon

19:28 Uhr, 22.10.2008

Entschuldige Bui,

aber ich habe noch eine Frage. Bzw ich hab mich zwar eben bedankt aber weiß nicht wirklich wie Sie das gerechnet haben.

Ich habe ehrlich gesagt überhaupt nicht verstanden wie Sie das gerechnet haben.

Ich dachte nämlich,dass der Scheitelpunkt mir die Punkte b und c gibt, jedocht kann ich diese nicht einfach verwenden da sie der Scheitelpunktsform entnommen sind.

Was meinen Sie mit f(x)=2ax plus b ? Das habe ich im Zuge quadratischer Funktionen noch nie gehört!

Ich verzweifele! Warum ist b = 2 mal a?

Bitte helfen Sie mir!

MBler07 aktiv_icon

20:15 Uhr, 22.10.2008

Hi

ich finde den Weg von bui zu umständlich (aber richtig). Falls du noch keine Ableitungen/Differentialrechnung hattest, wirst du ihn außerdem nicht verstehen können.

Scheitelpunksform einer Parabel:

f (x) = y = a {(x - d)}^{2} + e

\to y = a {(x - 1)}^{2} - 3

Punkt eingesetzt:

5 = a {(3 - 1)}^{2} - 3

8 = 4 a

a = 2

\Rightarrow f (x) = 2 {(x - 1)}^{2} - 3

Nullstellen:

0 = 2 {(x - 1)}^{2} - 3

3 = 2 {(x - 1)}^{2}

\frac{3}{2} = {(x - 1)}^{2}

\pm \sqrt{\frac{3}{2}} = x - 1

x = 1 \pm \sqrt{\frac{3}{2}} = 1 \pm \sqrt{\frac{6}{4}} = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}

ODER:

f (x) = 2 {(x - 1)}^{2} - 3 = 2 (x^{2} - 2 x + 1) - 3 = 2 x^{2} - 4 x + 2 - 3 = 2 x^{2} - 4 x - 1

\to

Mitternachtsformel:

x_{1,2} = \frac{- (- 4) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{4 \cdot 6}}{4} = 1 \pm \frac{2}{4} \cdot \sqrt{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}

Grüße

anonymous

07:52 Uhr, 23.10.2008

Hallo,

sorry, daran hab ich garnicht gedacht, dass Du/Sie evtl. noch keine Ableitungen hattest.
An die "Scheitelpunktsform" einer Parabel hatte ich gerade nicht gedacht, aber es ist natürlich der elegantere Weg.
Damit hat sich wohl eine Erklärung meiner Rechn. erübrigt, oder?

lg

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