Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Nullstellen einer Sinusfunktion

Nullstellen einer Sinusfunktion

Schüler

Tags: Trigonometrische Funktionen

Joshua2 aktiv_icon

13:06 Uhr, 02.06.2023

Hallo, ich suche nach einer Umformung für die Nullstellen der Funktion

f (x) = a \cdot sin (b (x - c) + d

Also

z . B

. 3sin(2x)+1

= 0

Wie kann man das nach

x

auflösen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)
Allgemeine Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

calc007

13:36 Uhr, 02.06.2023

wie immer...:

f = a \cdot sin (b \cdot (x - c)) + d

ganze Gleichung minus

d :

f - d = a \cdot sin (b \cdot (x - c))

ganze Gleichung durch

a :

\frac{f - d}{a} = sin (b \cdot (x - c))

arcsin((f-d)/a)

= b \cdot (x - c)

ganze Gleichung durch

b :

(arcsin((f-d)/a))/b

= x - c

ganze Gleichung plus

c :

(arcsin((f-d)/a))/b

+ c = x

KL700 aktiv_icon

13:51 Uhr, 02.06.2023

3 \cdot sin (2 x) + 1 = 0

sin (2 x) = - \frac{1}{3}

2 x =

arc

sin (- \frac{1}{3})

x = . .

.

Überlege, wo der sin den Wert

- \frac{1}{3}

annimmt (Einheitskreis) und die Periode beachten.
Der sin ist negativ im 3. und 4. Quadranten.

Roman-22

14:56 Uhr, 02.06.2023

>

ganze Gleichung plus

c :

>

(arcsin((f-d)/a))/b

+ c = x

Naja, das ist aber weniger als die halbe Wahrheit, oder?
arcsin ist ja nicht die Umkehrung der Sinusfunktion, sondern die definitionsgemäß auf

[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]

eingeschränkte Umkehrfunktion und liefert demnach nur einen Wert.
Außerdem war ja die Lösung nur für

f = 0

gefragt.

Komplett sollten die Lösungen dann wohl (vorausgesetzt, dass a und

b

nicht Null sind) lauten

x_{1} = c + \frac{1}{b} \cdot (- a r c s i n \frac{d}{a} + k \cdot 2 π)

und auch

x_{2} = c + \frac{1}{b} \cdot (a r c s i n \frac{d}{a} + π + k \cdot 2 π)

mit beliebigem

k \in ℤ

EDIT: Fehlerhaftes

\frac{a}{d}

wurde oben durch richtiges

\frac{d}{a}

ausgebessert

Joshua2 aktiv_icon

16:45 Uhr, 02.06.2023

Ja danke, bin jetzt hierauf gekommen:

a \cdot sin (b (x - c)) + d = 0

a \cdot sin (b (x - c)) = - d

sin (b (x - c)) = - \frac{d}{a}

b (x - c) =

arcsin(-d/a)

x - c = (\frac{1}{b}) \cdot

arcsin(-d/a)

x 1 = (\frac{1}{b}) \cdot

arcsin(-d/a)

+ c + (z - 1) \cdot (2 \frac{Π}{b})

mit

z

Element

Z

x 2 = (\frac{1}{b}) \cdot (Π -

arcsin(-d/a))

+ c - 2 \frac{Π}{b} + (z - 1) \cdot (2 \frac{Π}{b})

mit

z

Element

Z

Allerings sollte nicht in der ersten Periode von 3sin(2x)+1

= 0

ein positiver Winkel rauskommen?

x 1 = (\frac{1}{b}) \cdot

arcsin(-d/a)

+ c + z \cdot (2 \frac{Π}{b})

mit

z

Element

Z

calc007

17:06 Uhr, 02.06.2023

"Allerings sollte nicht in der ersten Periode von 3sin(2x)+1

= 0

ein positiver Winkel rauskommen?"
Hmmmm, ich weiß nicht, was du wirklich erwartest.
Es gibt bestimmt unzählige (geschickte und ungeschickte, kryptische und augenfällige) Weisen, die Perioden zu beschreiben. Welche 'Nullpunktlage' oder Vorzeichen-Erwartung du hast, liegt auch ein wenig im Ermessen des Autors und Künstlers.
Wenn du da spezielle Vorstellungen oder Randbedingungen hast, dann müsstest du auch zu verstehen geben, welche...

Roman-22

18:35 Uhr, 02.06.2023

Deine beiden Lösungen sind richtig, wenngleich sie unnötig kompliziert aussehen.
Abgesehen davon, dass du

a r c s i n (- y) = - a r c s i n (y)

verwenden kannst

(sin

und auch arcsin sind ungerade Funktionen), kannst du anstelle von

(z - 1) \cdot \frac{2 π}{b}

mit

z \in ℤ

auch einfach nur

n \cdot \frac{2 π}{b}

mit

n \in ℤ

und anstelle des aufwändigen

- \frac{2 π}{b} + (z - 1) \cdot \frac{2 π}{b} = (z - 2) \cdot \frac{2 π}{b}

mit

z \in ℤ

auch einfach nur

n \cdot \frac{2 π}{b}

.

Anmerkung: In meiner Antwort stand bei den angegebenen Lösungen irrtümlich anstelle von

\frac{d}{a}

der Kehrwert

\frac{a}{d}

. Ist mittlerweile ausgebessert.

Ganz verstehe ich deine Frage "Allerings sollte nicht in der ersten Periode von 3sin(2x)+1 $= 0$ ein positiver Winkel rauskommen?" nicht so ganz.
Ich vermute, dass du meinst, dass man immer für

k = 0

oder vl auch

k = 1

(oder gern auch

n

oder

z)

Winkel im Bereich

[0; 2 π)

rausbekommen müsste. Dafür gibts aber keine verbindliche Konvention.
Wenn Lösungswinkel nur in einem bestimmten Bereich gesucht werden sollen, muss man eben die Ganzzahl

(k, z

oder

n)

so wählen, dass diese Bedingung erfüllt ist.

Für dein Beispiel mit

a = 3, b = 2, c = 0

und

d = 1

ergeben sich vier Lösungen im Bereich

[0; 360^{\circ})

.
Mit den von mir angegebenen Ausdrücken stellen sich diese ein, wenn man bei

x_{1}

für

k

die Werte 1 und 2 wählt und bei

x_{2}

für

k

die Zahlen 0 und 1 einsetzt.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1572075

1572060

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?