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Nullstellen von cos(x) + cos(2x)

Universität / Fachhochschule

Tags: Funktion, Trigonometrische Funktionen

ChristopherStrube aktiv_icon

15:08 Uhr, 12.09.2014

Hallo, bin gerade mitten in meiner Klausur Vorbereitung und habe echte Probleme mit Trigonometrischen Funktion. Habt deswegen bitte etwas Nachsicht.

Gegeben:

Y (x) = cos (x) + cos (2 x)

Gesucht: Nullstellen

Was habe ich bisher:

Ich habe das

cos (2 x)

durch

2 \cdot {cos}^{2} (x) - 1

ersetzt

somit:

Y (x) = cos (x) + 2 \cdot {cos}^{2} (x) - 1

und

cos (x)

einmal ausgeklammert.

somit:

0 = cos (x) \cdot (1 + 2 \cdot cos (x)) - 1

Ich glaube ich muss jetzt die Therme einzeln betrachten um die Nullstellen herauszufinden, aber nicht so richtig eine Idee wie.

Es wäre super wenn ihr mir eine Lösung für die Aufgabe gebt, in der der Schritte nachvollziehbar erklärt sind. Eine Schritt für Schritt wäre auch gut aber wie gesagt, das ist alles etwas Neuland für mich.

Lg Chris

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Matheboss aktiv_icon

15:23 Uhr, 12.09.2014

cos (x) = z

2 \cdot z^{2} + z - 1 = 0

jetzt eine Idee?

rundblick aktiv_icon

15:24 Uhr, 12.09.2014

"
..Ich glaube ich muss jetzt die Therme .."

\to

ne - da gehst du ganz schön heiss baden ..

Tipp:

mit

u = cos (x)

bekommst du eine quadratische Gleichung ..

probiers

oh boss war schon da - sorry
nun, du kannst natürlich auch

z

sagen .. ist final
und ugal

Matheboss aktiv_icon

15:27 Uhr, 12.09.2014

@rundblick ich muss weg, steige aus!

ChristopherStrube aktiv_icon

15:40 Uhr, 12.09.2014

Okay, mittels der Substitution habe ich jetzt die Nullstellen

z 1 = \frac{1}{2}

und

z 2 = - 1

.
Wie führe ich die Rücksubstitution durch, bzw was sagen mir die Nullstellen?
Sind die Nullstellen die Werte die Cosinusfunktionen annehmen müssen um zu verschwinden?

LG Chris

rundblick aktiv_icon

15:48 Uhr, 12.09.2014

"
Wie führe ich die Rücksubstitution durch"

\to

es ist

cos (x) = z

setze also deine gefundenen

z -

Werte ein

\to

du bekommst zwei Gleichungen um alle

x .

. also die Nullstellen
deiner Startfunktion

f (x) = cos (x) + cos (2 x) .

. zu berechnen.

mach mal

. . \to

(du wirst insgesamt 3 mal unendlich viele Lösungen finden..)

ChristopherStrube aktiv_icon

16:02 Uhr, 12.09.2014

Ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch, könntest du das etwas ausführlicher erklären, was soll ich genau durch die Nullstellen ersetzen?

rundblick aktiv_icon

16:15 Uhr, 12.09.2014

"
Ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch,

was soll ich genau durch die Nullstellen ersetzen?"

\to

der arme Schlauch

. .

\to

du sollst nichts ersetzen

sondern die gefundenen

z -

Werte einsetzen bei

cos (x) = z

Beispiel:

z = \frac{1}{2} .

\Rightarrow cos (x) = \frac{1}{2}

und jetzt kannst du in die Therme schwitzen gehen um
herauszufinden, für welche Werte

x

diese Gleichung erfüllt ist..

und genau diese Werte (es sind zweimal "unendlich viele" und leicht
selbst sehen kannst du die am Einheitskreis - durchdrehen nicht vergessen!)
sind die erste Portion der Nullstellen von

f (x) = cos (x) + cos (2 x)

alle weiteren Nullstellen von

f (x) = cos (x) + cos (2 x)

findest du,
wenn du dann noch herausfindest , für welche

x

gilt

cos (x) = - 1

ok?

kleiner Tipp nebenbei:
schau dir doch mal den Graph an von

\to f (x) = cos (x) + cos (2 x)

ChristopherStrube aktiv_icon

16:27 Uhr, 12.09.2014

Tut mir Leid aber jetzt hast du mich vollständig verwirrt

. .

.

könntest du mir den gefallen tun und es einfach so einsetzten wie du es meinst?

pleindespoir aktiv_icon

21:59 Uhr, 12.09.2014

{\cos z}_{1} = ½

{\cos z}_{2} = - 1

jetzt kommt die enorme Transferleistung:

z_{1} = \arccos ½

z_{2} = \arccos - 1

man beachte Mehrfachlösungen ...

rundblick aktiv_icon

10:19 Uhr, 13.09.2014

\cdot

\to

NEIN, pleindespoir

\to

NICHT

\to cos (z_{1}) = \frac{1}{2}

SONDERN

\to cos (x_{1}) = \frac{1}{2}

usw...

\cdot

gesucht sind die x-Werte - bekannt sind die z-Werte

!! \cdot

pleindespoir aktiv_icon

11:24 Uhr, 13.09.2014

Korrektur:

{\cos x}_{1} = ½

{\cos x}_{2} = - 1

jetzt kommt die enorme Transferleistung:

x_{1} = \arccos ½

x_{2} = \arccos - 1

man beachte Mehrfachlösungen ...

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Danke für den Hinweis !

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