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Schnittpunkt Kreis und Ellipse

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Tags: Ellipse, Funktion, Kreis, Schnittpunkt

MrOrangee aktiv_icon

12:14 Uhr, 06.09.2020

Hallo zusammen,

ich habe folgendes Problem:

Ich möchte eine Ellipse tangential,

d . h

. mit einem Schnittpunkt, an einen Kreis legen. Der Kreis ist in der Form y=y0+sqrt(r²-(x-x0)²) definiert, von der Ellipse sind die Halbachsen sowie der y-Wert des Mittelpunktes bekannt, es fehlt entsprechend nur der x-Wert des Mittelpunktes der Ellipse.

Theoretisch müsste ich die Kreisgleichung in die Ellipsengleichung einsetzen, die quadratische Gleichung hätte dann nur eine Lösung falls die Diskriminante

D = 0

wird, dies ergibt dann wieder eine quadratische Gleichung mit den Lösungen für den x-Wert des Mittelpunktes (siehe Bild). Praktisch komme ich jedoch nie zum richtigen Ergebnis

: (

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Schnittpunkte bestimmen
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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Grundbegriffe der ebenen Geometrie
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Atlantik aktiv_icon

12:54 Uhr, 06.09.2020

\frac{x - x_{M}}{a^{2}} + \frac{y - y_{M}}{b^{2}} = 1

ist

k e i n e

Ellipsengleichung.

mfG

Atlantik

MrOrangee aktiv_icon

13:16 Uhr, 06.09.2020

sorry, typo:

^2

vergessen

rundblick aktiv_icon

13:56 Uhr, 06.09.2020

.
gelöscht
.

Roman-22

14:40 Uhr, 06.09.2020

Auch das, was du als Kreisgleichung verkaufst, stellt nur einen Halbkreis dar.

Wenn, wie du schreibst, alles, außer

x_{m}

bekannt ist, so bedeutet das doch, dass du einen festen Kreis (oder Halbkreis ?) hast und eine Ellipse (mit Achsen parallel zu den Koordinatenachsen), die du nur durch horizontale Verschiebung in eine Lage bringen möchtest, sodass Ellipse und Kreis einander berühren.
Ist das richtig?

Hast du konkrete Zahlenwerte für uns oder muss es eine allgemeine, symbolische Lösung sein? In letzterem Fall müsstest du dich auf einige Fallunterscheidungen gefasst machen, da die Aufgabe ja nicht immer lösbar ist.

Außerdem: Woran scheitert der von dir geschilderte Ansatz konkret? Du schreibst ja nur lapidar "Praktisch komme ich jedoch nie zum richtigen Ergebnis :("
Abbgesehen davon - wenn du Kreis mit Ellipse schneidest, dann sollte sich eine Gleichung vierten Grades ergeben - das wird allgemein gerechnet sicher nicht lustig.

Warum bildest du nicht die Ableitungen

\frac{d x}{d y} (n i c h t \frac{d y}{d x})

für beide Quadriken

(\pm

beachten) und setzt diese entsprechend gleich? Damit erhältst du zunächst mal die Info, in welcher "Höhe"

y

die Berührung stattfinden kann. Außerdem kannst du dann leicht die jeweiligen x-Koordinaten der Berührstellen ermitteln und da diese x-Werte ja übereinstimmen müssen, solltest du daraus dann

x_{M}

bestimmen können. Es wird

i . a

. 2 Lösungen geben.

MrOrangee aktiv_icon

15:04 Uhr, 06.09.2020

"Wenn, wie du schreibst, alles, außer xm bekannt ist, so bedeutet das doch, dass du einen festen Kreis (oder Halbkreis ?) hast und eine Ellipse, die du nur durch horizontale Verschiebung in eine Lage bringen möchtest, sodass Ellipse und Kreis einander berühren."

\to

Das ist genau was ich machen möchte, Zahlenwerte habe ich leider keine, ich brauche die allgemeingültige Lösung. (Und ja, es handelt sich um einen Halbkreis ;-) )

Ich scheitere Momentan am Auflösen der Gleichung und wie du sagst bekomme ich dann eine Gleichung 4. Grades, mein Ansatz funktioniert also so gar nicht.

Das Gleichsetzen der Ableitungen versuche ich später einmal, vielen Dank für den Tipp! Mir ist aber nicht klar wie ich von den Koordinaten des Schnittpunktes auf den Mittelpunkt der Ellipse komme?

Roman-22

16:52 Uhr, 06.09.2020

Wenn du es allgemein benötigst, dann wirst du aber sicher Nebenbedingungen angeben können.
Zum Beispiel so etwas wie

y_{0} \leq y_{m} \leq y_{0} + r + b

Darf man auch

x_{m} < x_{0}

voraussetzen? Würde die Lösung eindeutig machen.

>

Mir ist aber nicht klar wie ich von den Koordinaten des Schnittpunktes auf den Mittelpunkt der Ellipse komme?
Welche Schnittpunkte?
Mein Vorschlag war, die Ableitungen von

x

nach

y

der Ellipse und des Halbkreises gleichzusetzen. Damit bekommst du die Stellen, an denen Kreis und Ellipse in gleicher Höhe

x

denselben Anstieg haben. Die Stelle(n) am Kreis sind fest und die an der Ellipse hängen noch von

x_{M}

ab und so kann man durch Geichsetzen der x-Werte die x-Koordinate des Ellipsenmitelpunkts berechnen.
Die Ableitungen ermittelt man vermutlich am Besten durch implizites Differenzieren und es wird sich eine Zweideutigkeit einstellen (linke und rechte Halbellipse bzw. Viertelkreis), daher der Hinweis auf

\pm

.

Ich hab diesen Ansatz aber selbst nicht allgemein durchgerechnet - das wär mir jetzt zu mühsam. Daher kann ich nicht sagen, ob man da nicht auch auf unangenehme Gleichungen stößt.

EDIT: Hab mirs kurz angesehen und allgemein gerechnet scheint das auch nicht all zu freundlich zu sein. Je nachdem wofür du es benötigst kann vielleicht unter Verwendung eines geeigneten Programms eine numerische Lösung bei gegebenen Werten ausreichend sein. Siehe ein Beispiel im beigefügten Bild.

ermanus aktiv_icon

19:42 Uhr, 06.09.2020

Hallo,
hier eine ganz andere Idee, die ich aber nicht zuende verfolgt habe:
man lege die Elilipse in den Ursprung und lasse den Kreis sich auf der
Ellipse abrollen. Man berechne dann den Mittelpunkt des Kreises und verschiebe
zum Schluss die Ebene so, dass der Kreismittelpunkt in

(x_{0}, y_{0})

zu liegen
kommt.
Die Ellipse kann man durch die Parameterdarstellung

φ (t) = (a \cos (t), b \sin (t))

beschreiben. Die Tangentialvektoren haben
dann die Form

(- a \sin (t), b \cos (t))

. Die nach außen zeigende Normale
ist

\frac{1}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} (b \cos (t), a \sin (t)) .

Der Mittelpunkt des Kreises ist daher

m_{K} = (a \cos (t), b \sin (t)) + \frac{r}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} (b \cos (t), a \sin (t))

.
Nun die Ebenenverschiebung ...
Gruß ermanus

Roman-22

21:58 Uhr, 06.09.2020

>

Der Mittelpunkt des Kreises ist daher
Leider ist es nicht so einfach.

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

muss durch

\sqrt{a^{2} \cdot {sin}^{2} t + b^{2} \cdot {cos}^{2} t}

ersetzt werden.

Da die y-Koordinate des rollenden Kreises

y_{0} - y_{m}

sein soll, müsste man dann die Gleichung

sin t \cdot (b + \frac{a \cdot r}{\sqrt{a^{2} \cdot {sin}^{2} t + b^{2} \cdot {cos}^{2} t}}) = y_{0} - y_{m}

nach

t

auflösen, was allgemein auch nicht besonders einfach sein dürfte.

ermanus aktiv_icon

22:01 Uhr, 06.09.2020

Hallo Roman,
da hast du leider Recht. Schade :-)
Aber den Versuch war es wert ;-)
LG ermanus

Roman-22

22:09 Uhr, 06.09.2020

Ich hab den Fehler bei der Normierung des Normalvektors auch erst während des Versuchs, deinen Ansatz zu implementieren, bemerkt. War Anfangs ganz begeistert von der Variante mit dem einfachen Normalvektor ;-)
Hatte mich auch vorher schon mit der Parameterdarstellung gespielt, bin aber auch auf keine brauchbare symbolische Lösung gestoßen.
Im Grunde bedeutet dein Ansatz ja, eine Parallelkurve eine Ellipse mit einer waagrechten Geraden zu schneiden, was algebraisch auch wieder auf eine Gleichung vierten Grades hinausläuft.
Schätze, dass auch die Beschränkung auf den obere, linken Viertelkreis und die untere, rechte Viertelellipse keine nennenswerte Vereinfachung bringt.

MrOrangee aktiv_icon

15:00 Uhr, 13.09.2020

Ich habe die numerische Variante von Roman-22 nun in Excel implementiert, funktioniert einwandfrei, vielen lieben Dank für die Hilfe!

Für eine Abwandlung der Aufgabe ist nun anstelle des x-Wertes des Mittelpunktes der Ellipse die Halbachse a variabel - also ein fester Kreis mit gegebenem Radius, sowie eine Ellipse um einen festen Punkt mit einer (von zwei) festen Hauptachse, gesucht ist die zweite Hauptachse, sodass Kreis und Ellipse tangential verlaufen. Habe es in dem Bild im Anhang skizziert, nun auch mit Nebenbedingungen: es geht lediglich um den oberen rechten Viertelkreis und den unteren linken Teil der Elipse :-).

Hierbei tappe ich nun komplett im Dunkeln wie ich das Problem angehen könnte, habt ihr Ideen oder Vorschläge?

Vielen Dank schonmal!

Roman-22

15:12 Uhr, 13.09.2020

Auch wenn ich im Moment keine Zeit für die konkrete Implementation habe, so denke ich doch, dass diese neue Aufgabe numerisch lösbar sein sollte. Symbolisch wirds wohl wieder auf eine Gleichung höheren Grades hinauslaufen, der sich zumindest mein CAS verweigerte.

Eine erste Idee: Betrachten wir zusätzlich zum gegebenen (Halb)kreis den Nebenscheitelkreis der Ellipse (dieser ist ja vollständig bestimmt).
Dann suchen wir eine y-Koordinate so, dass die Tangenten an die beiden Kreise in den Punkten mit dieser y-Koordinate einander auf der Senkrechten durch den Ellipsenmittelpunkt schneiden. Wenn ich mich auf die Schnelle nicht irgendwo verrannt habe sollte das aus der Proklus (de la Hire) Konstruktion der Ellipse zu folgern sein.
Mithilfe der x-Koordinaten der beiden Kreispunkte ist dann die halbe Nebenachsenlänge a leicht ermittelbar.
EDIT
Animation: filehorst.de/d/dpCCqEcb
oder: workupload.com/file/zaVeNkzFt4v

Mich würde jetzt allerdings schon interessieren, wo solche Fragestellungen eigentlich auftauchen und welche Relevanz sie haben!

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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