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Schnittpunkt dreier Thaleskreise Beweis
Universität / Fachhochschule
Körper
Tags: Beweis, Höhenschnittpunkt, Körper, Schnittpunkt, Thaleskreis
 
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Hallo Mathe Forum! Hatte vorkurzem ja erst eine Frage zur Rekonstruktion mittels peripheriwinkelsatz. Jetzt habe ich ein weiteres Problem, und zwar soll ich den Beweis dafür liefern, das der Schnittpunkt 3er Thaleskreise über dem Höhenschnittpunkt eines Fluchtpunktdreiecks liegt. Im Anhang findet ihr eine Grafik in der ich alles farblich markiert habe. Über eine ausführliche Antwort würde ich mich rieeeeesig freuen! PS: Mir reicht die Lösung für diese Frage völlig, ich muss nicht wissen wie es funktioniert. Die Aufgabe ist Teil eines Projektes in das ich zugeteilt wurde, ich interessiere mich nicht großartig für solche Themen :-P)  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Schnittpunkte bestimmen Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform) Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform) Lineare Gleichungssysteme Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen Raummessung Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform) Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform) Lineare Gleichungssysteme Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen |
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Hallo noirlama, Du schreibst: "Mir reicht die Lösung für diese Frage völlig, ich muss nicht wissen wie es funktioniert." das ist für die potentiell Antwortenden nicht gerade motivierend, aber ich finde die Frage interessant genug trotzdem zu antworten ;-) Zunächst gilt es, das ganze zu vereinfachen: Ich betrachte den Thaleskreis auf einer der Höhen (hier ) in der Ebene, die senkrecht auf der Ebene des Dreiecks liegt. Vom Höhenschnittpunkt aus lege ich eine Gerade innerhalb dieser Ebene senkrecht zur Dreiecksebene nach oben und diese schneidet den Thaleskreis in . Jetzt reicht es aus zu beweisen, dass auf einer Kugel liegt, deren Durchmesser von einer der drei Seiten (hier ) gebildet wird. Ich habe eine Skizze angehängt, auf der ich die senkrechte Ebene und die Ebene durch die Seite und den Punkt in die Ebene des Dreiecks gekippt habe. Interessant sind die drei Strecken , und der Beweis ist erbracht, wenn bewiesen werden kann. dazu noch ein paar Umbenennungen: , , und nach dem Höhensatz gilt und nach Pythagoras gilt: bzw. zudem gilt , daraus folgt dass nun ist und q.e.d. Gruß Werner PS.: um was für ein Projekt handelt es sich denn? Und wie kommt es dazu, dass Du zu diesem zugeteilt wurdest, obwohl Dich das Thema nicht interessiert?  |
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.. inzwischen ist mir noch ein sehr viel einfacherer Beweis eingefallen. Interessiert? |
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Oh mein Gott, tut mir Leid, garnicht gesehn, das jemand geschrieben hat! Vielen, vielen Dank für deine Hilfe Werner-Salomon, wenn es dir nicht zuviel Arbeit macht, kannst du auch gerne den einfacheren Beweis zeigen, würde mich freuen! :-) Edit: PS.: um was für ein Projekt handelt es sich denn? Und wie kommt es dazu, dass Du zu diesem zugeteilt wurdest, obwohl Dich das Thema nicht interessiert? Erst wollte ich zusammen mit 2 anderen Personen aus meinem Sutdiengang ein eigenes Projekt erstellen (wir wollten eine App programmieren - wir studieren alle Online Medien). Allerdings hies es dann, das Studiengänge doch bitte gemischt werden sollten. Im Endeffekt musst ich mir eine neue Gruppe suchen und die einzige Gruppe die noch Platz hatte war diese in der ich jetzt bin (3D-Rekonstruktion von . Architektur aus Kunstobjekten) |
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Hallo noirlama, schön, dass Du dich wieder gemeldet hast. ich habe Dir noch mal eine Skizze angehängt. Dort ist das Dreieck dargestellt mit den Thaleskreisen über den Seiten (in grün). Die Kreise sind gleichzeitig die Schnitte der Kugeln, deren Durchmesser jeweils durch die Seiten des Dreiecks gebildet werden, mit der Ebene des Dreiecks. Man betrachte zunächst die Kreise über und . Das Entscheidende ist, dass sich diese außer in natürlich auch in schneiden (hatte ich bei den ersten Überlegungen nicht auf dem Schirm). Daraus folgt dann, dass der Schnittkreis der beiden zugehörigen Kugeln nicht nur senkrecht auf der Dreiecksebene steht (beide Mittelpunkte der Kugeln liegen in dieser Ebene) sondern auch, dass der Schnittkreis direkt über der Höhe liegt. Bzw. anders ausgedrückt: die Projektion des Schnittkreises ist die Höhe . Damit existiert auch ein Punkt auf diesem Kreis, der zu beiden Kugeln gehört und dessen Projektion auf die Dreiecksebene gleich ist. Das gilt natürlich auch für die anderen Paarungen - z.B. den Kugeln über und . Daraus folgt wiederum, dass sich die drei Kugeln in über schneiden. Da jeder Großkreis auf einer Kugel, der durch die zwei Endpunkte der (Durchmesser-)Seite und einen beliebigen Punkt auf der zugehörigen Kugel geht, ein Thaleskreis über dieser Seite ist, schneiden sich drei Thaleskreise oberhalb von in einem Punkt . Gruß Werner  |
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Vielen, vielen Dank für diese wunderbare Erklärung! Hat mir unglaublich weitergeholfen! *freu* |
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