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Tangente, Dreieck mit Koordinatenachsen - Fläche

Schüler

Tags: Abhängigkeit, Dreieck, Fläche, Flächeninhalt, Koordinatenachsen, Tangent, Wendepunkt

Klausii aktiv_icon

18:40 Uhr, 15.05.2011

Also, es geht um die Kurvenschar ft(x)=

- \frac{1}{18} x^{4} + \frac{t}{3} x^{3}

Die zugehörigen Graphen heißen Kt.

t

ist irgendeine beliebige Zahl.

T

ist ein Element IR und

t > 0

Die Aufgabe, bei der ich nicht weiterkomme, lautet:
Die Tangente im zweiten Wendepunkt

W (3 t | 2,4 t^{4})

von Kt bildet mit den Koordinatenachsen ein Dreieck (unterhalb der x-Achse). Bestimmen Sie allgemein den Flächeninhalt des Dreiecks in Abhängigkeit von

t!

Ich finde da kaum Ansatz. Ich habe jetzt die Tangentengleichung versucht auszurechnen. Leider hatten wir das noch nicht im Unterricht, daher bin ich sehr unsicher.
Also:

x-Stelle des Wendepunktes

= 3 t

ft'(x) = -2/9X³+tX²

ft'(3t)= -2/9*27*t³+t/3*9t²
= -6t³+3t³
= -3t³
ft(3t)

= - \frac{2}{9} \cdot 81 \cdot t^{4} + \frac{t}{3} \cdot 27 \cdot t^{3}

= - 18 t^{4} + 9 t^{4}

= - 9 t^{4}

So, dann habe ich weitergemacht und das in die Tangentengleichung da eingesetzt:

t (x) = f (x 0) + f' (x 0) \cdot (x - x 0)

= - 9 t^{4} + (- 3 t^{3}) \cdot (x - 3 t)

= - 9 t^{4} - 3 t^{3} \cdot x + 9 t^{4}

= - 3 t^{3} \cdot x

Rechne ich dann den Schnittpunkt mit der

x -

und y-Achse bekomme ich:

y (0) = 0

und

t (x) = 0

Also den Schnittpunkt

(0 | 0) . .

. auch wenn ich das gerade ziemlich wirr ausgerechnet habe.

So, jetzt komme ich aber absolut nicht weiter bzw zweifle meine Lösung an, denn auf meiner Zeichnung sieht das nicht so aus, als würde das den Graphen nur in einem Punkt schneiden. Außerdem hatte ich Tangentengleichung im Unterricht noch nicht, deshalb bin ich da extrem unsicher.

Also meine Frage: Ist das bisher so richtig? Und wie mache ich weiter, um auf den Flächeninhalt des Dreiecks zu kommen? Integralrechnung vielleicht...? aber wie?

Vielen Dank schon mal im Voraus, bitte helft mir..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalte
Flächenmessung
Kreis: Umfang und Flächeninhalt

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

jairohmsford aktiv_icon

23:02 Uhr, 15.05.2011

Hallo Klausii!
Eine Tangentengleichung ist eine ganz gewöhnliche Geradengleichung, die du normalerweise über einen Punkt und die Steigung der Geraden erhältst. So etwas kennst du bestimmt schon. Du erinnerst dich vielleicht nur nicht mehr.
Dein Ansatz ist genau richtig:
Du erhältst die Steigung der Tangente über die Steigung des Graphen im Punkt T. Beim Einsetzen von

3 t

in die 1.Ableitung ist dir aber ein Fehler unterlaufen. Richtig heißt der Term
ft'(3t)=

- \frac{2}{9} \cdot 27 \cdot t^{3} + t \cdot 9 t^{2} = - 6 t^{3} + 9 t^{3} = 3 t^{3} .

Die Tangentengleichung heißt dann

g : y - 2,4 t^{4} = 3 t^{3} \cdot (x - 3 t)

g : y = 3 t^{3} x - 9 t^{4} + 2,4 t^{4}

g : y = 3 t^{3} x - 6,6 t^{4}

Zur Berechnung des Flächeninhalts musst du jetzt nur noch die Schnittpunkte der Tangente mit den Achsen bestimmen

((0 | - 6,6 t^{4})

und

(2,2 t | 0)) .

VG, Jair

Klausii aktiv_icon

23:30 Uhr, 16.05.2011

Danke! :-)
Ich hatte tatsächlich noch nie eine Tangentengleichung.

:' D

Aber ich hatte in der

11

. Klasse auch kaum Matheunterricht - bin jetzt Ende

12

.
Hätte man aber vielleicht auch drauf kommen können, dass das y=mx+b ist.

Danke schön :-)

888889

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