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Umformung Terme Trigonometrie

Schüler

Tags: Trigonometrische Funktionen, umformung

anonymous

19:14 Uhr, 15.04.2023

Hallo zusammen,

folgender Term

[{sin}^{4} (cos (tan (x^{2})))]

kann zu

[{sin (cos ({tan x}^{2})]}^{4}

umgeformt werden. Leider weiß ich nicht welche Regel dort greift, oder
welche Formel angewendet werden muss.

Kann einer bitte zur Klärung helfen?

(Funktion wird im nachhinein abgeleitet, leider verstehe ich den ersten
oben beschriebenen Umformungsschritt nicht)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

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Roman-22

20:07 Uhr, 15.04.2023

Das ist keine Umformung, sondern nur eine andere Schreibweise für die Potenz

Es ist erlaubt, anstelle von

tan (x)

auch

tan x

zu schreiben, wenn das Argument

x

einfach ist und keine Verwechslungsgefahr besteht. In deinem Beispiel wurde anstelle von

tan (x^{2})

einfach

{tan x}^{2}

geschrieben.

Und es ist auch erlaubt, anstelle von

{sin (...)}^{4}

(manche gehen da auf Nummer Sicher und schreiben sogar

{[sin (...)]}^{4}

dafür) einfach

{sin}^{4} (...)

zu schreiben und auch das wurde in deinem Beispiel gemacht, allerdings leider in der umgekehrten Richtung.

Man kann sicher auch darüber diskutieren, ob nicht auch kurz

{sin}^{4} {cos tan x}^{2}

erlaubt wäre, da auch dieser Ausdruck keine andere Interpretation zulässt.
Meine persönlich Präferenz wäre aber dennoch

{sin}^{4} (cos (tan (x^{2}))

. Ich fühle mit mit den Klammern da wohler und es ist ja auch keinesfalls verboten oder normverletztend, "unnötige" zusätzliche Klammern zu setzen.

Diese Vereinfachungen sind nur deshalb bei den Winkelfunktionen erlaubt, weil diese wohlbenannte Umkehrfunktionen haben und es daher bei einer Schreibweise wie

{sin}^{- 1} x

klar sein sollte, dass es sich um den Kehrwert von

sin x

handelt und nicht um die Umkehrfunktion, denn die muss mit ihrem Namen

a r c s i n (x)

bezeichnet werden.
Die Verwendung von

{sin}^{- 1}

für die Umkehrung der Sinusfunktion (wie es die übliche TR Beschriftung nahelegen würde) ist daher tunlichst zu unterlassen. Sie würde auch eine Verletzung/Missachtung der diesbezüglichen Norm ISO-80000-2 darstellen. Daran ändert auch nichts die traurige Tatsache, das man

{sin}^{- 1}

anstelle von

a r c s i n

oder auch

a s i n

leider immer häufiger verwendet sieht und auch Wolfram Alpha

S i n^{- 1} [...]

anstelle der korrekten Bezeichnung

a r c s i n (. .

. )verwendet (immerhin gibt WA wenigstens in eine Fußnote an, was es mit

S i n^{- 1}

in Wirklichkeit meint).

anonymous

20:20 Uhr, 15.04.2023

Hallo Roman,

danke für deine Antwort die Umschreibung von

tan (x^{2})

{tan x}^{2}

habe ich verstanden,
nun leider nicht wie der Exponent von

[{sin}^{4} (cos (tan (x^{2})))],

{[sin (cos ({tan x}^{2}))]}^{4}

verschoben wird. Ich kenne von den Potenzgesetzen wie

z . B

2^{- 3}

dass jener Ausdruck zu

\frac{1}{2^{3}}

umgeschrieben werden darf.

Gibt es so ein Gesetz auch für den fall von

[{sin}^{4} (... ...)]

{[sin (... . .)]}^{4}

Roman-22

20:26 Uhr, 15.04.2023

Hier geht es um kein Rechengesetz.
Die vereinfachten Schreibweisen sind in einer internationalen Norm festgelegt.
In deinem Fall wurde, wie oben schon erwähnt, das einfachere

[{sin}^{4} (...)]

durch das etwas aufwändigere

{[sin (...)]}^{4}

ersetzt.

In der ersten Schreibweise sind die eckigen Klammern rundherum ja völlig unnötig und sollten auch weggelassen werden.

Auch in der zweiten Schreibweise wären die eckigen Klammern nicht zwingend nötig.
Aber viele fühlen sich bei

{sin (x x x)}^{4}

nicht sonderlich wohl und befürchten eine Verwechslung mit

sin (x x x^{4})

und schreiben deshalb sicherheitshalber

{[sin (x x x)]}^{4}

.

Aber alle drei Schreibweisen

{[sin (x x x)]}^{4}

{sin (x x x)}^{4}

und am einfachsten eben

{sin}^{4} (x x x)

bedeuten das gleiche, nämlich dass der Sinus-Wert zur vierten Potenz genommen wird (und nicht das Argument

x x x)

anonymous

20:40 Uhr, 15.04.2023

Danke nochmals für deine ausführliche Erklärung,

gibt es irgendwo sowas wie ein Wiki/Lexikon in dem man nachschauen
kann wie solche Terme umgeschrieben werden dürfen?

Roman-22

21:35 Uhr, 15.04.2023

In der Tat ist es nicht so einfach, hier im Netz etwas Übersichtliches zu diesen Schreibkonventionen zu finden.

Tante Wiki erwähnt es nur beiläufig in einem Nebensatz
de.wikipedia.org/wiki/Trigonometrische_Funktion#Umkehrung_der_trigonometrischen_Funktionen

Gedruckt sollten die Schreibweisen abgesehen von den publizierten Normen aber auch in Schulbüchern zu finden sein, denn die werden ja wohl dort auch verwendet!?

anonymous

12:18 Uhr, 16.04.2023

Hallo Roman,

ein Exemplar dass diese Regeln ausführlich Zusammenfasst habe ich leider
noch nicht finden können. Aber die geschilderte Situation wurde von dir ausführlich erklärt.

Vielen Dank nochmals.
(auch für den Wiki Link)

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