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Unbegrenzte Flächen??

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Fläche, Fläche berechnen, Flächen, Flächeninhalt, Integral, Integralfunktion, Integralgrenzen, Integralrechnung, Uneigentliches Integral, unendlich, unendlichkeit, Wurzel

curlierfries aktiv_icon

21:44 Uhr, 09.12.2016

Der angegebene Graph lautet:

f (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}

und der Flächeninhalt zwischen 1 und 'Unendlich' soll berechnet werden.
Leider bleibe ich am Ende meiner Rechnungen total hängen und weiß nicht, wie ich weiter rechnen soll

: (

Hier mein bisheriger Rechenweg:

f (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}

\to \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x

\to \int_{1}^{b} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x

= {[2 \sqrt{x}]}_{1}^{b}

= (2 \sqrt{b}) - (2 \sqrt{1})

= (2 \sqrt{b}) - 2

= \sqrt{4} b - 2

lim_{b \to \infty} (\sqrt{4} \infty) - (2)

Da wir im Unterricht noch gar nicht mit unbegrenzten Flächen angefangen haben, tun mir die wahrscheinlich doch offensichtlichen Fehler sehr Leid.
Ergibt

\sqrt{4} \infty

etwa auch

\infty

? Was wäre dann

\infty - 2

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalte
Flächenmessung
Integralfunktion
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreisteile: Berechnungen am Kreis

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Atlantik aktiv_icon

21:48 Uhr, 09.12.2016

Schau mal hier:

http://www.nibis.de/~lbs-gym/AnalysisTeil3pdf/UneigentlicheIntegrale.pdf

mfG

Atlantik

curlierfries aktiv_icon

21:55 Uhr, 09.12.2016

In dem von Ihnen gegebenen Beispiel nähert sich der Flächeninhalt der linken Grenze/in die Höhe/ungefähr gegen Null. In meinem soll es sich nach rechts ins Unendliche erstrecken. Macht der Flächeninhalt in beiden Beispielen keinen Unterschied/ist er dann gleich?

anonymous

16:13 Uhr, 10.12.2016

Hey curlierfries,

Du hast alles richtig gemacht, Deine Lösung stimmt!

Wenn Du nun den Limes bestimmst, erhältst Du für die (nach rechts unbegrente Fläche) den Wert "unendlich", nämlich:

lim_{b \to \infty} (2 \sqrt{b} - 2) = \infty

Die Fläche unter

f

wird also immer größer, obwohl der Graph gegen 0 strebt.

Merke: Nicht alle uneigentliche Integrale streben gegen einen (konstanten) Wert, wenn der Graph gegen Null strebt!

Es kommt darauf an, "wie schnell" der Graph gegen Null geht, also ob das Aufaddieren der Funktionswerte (~Integral) das Ergebnis tatsächlich erhöht.

Dazu ein kleines Gedankenexperiment:

Wir beide bauen einen

1 m

hohen Turm weiter, und zwar wie folgt:

Ich baue am ersten Tag einen halben Meter, dann ein Drittel Meter, dann ein Viertel Meter usw..

Du baust am ersten Tag einen halben Meter, dann ein Viertel, dann ein Achtel usw..

Spannend ist nun:

1)

Wir bauen beide unendlich lang

2)

Wir bauen beide jeden Tag immer weniger

3)

Mein Turm wird unendlich groß - Deiner nicht!

Du baust schlicht nicht schnell genug, dazu Deine jeweiligen Turmhöhen:

Tag

1 : 1 m

Tag

2 : 1,5 m

Tag

3 : 1,75 m

Tag

4 : 1,875 m

usw..

Man sieht, dass Du den Abstand auf

2 m

eigentlich nur jeden Tag halbierst.. So kommst Du nie über die

2 m

hinaus!

Naja, hoffentlich war das hilfreich^^

Der Zusammenhang:

lim_{b \to \infty} (\int_{1}^{b} \frac{1}{x} d x) = \infty

(mein Turmwachstum)

aber

lim_{b \to \infty} (\int_{1}^{b} {(\frac{1}{2})}^{x} d x) = c

(Dein Turmwachstum)

curlierfries aktiv_icon

17:56 Uhr, 10.12.2016

Vielen vielen Dank für die Antwort! Nun hab ich es verstanden :-)

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