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Volumen eines Bechers berechnen durch das Integral

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Hyperbel, Parabel

nini84 aktiv_icon

17:08 Uhr, 05.05.2010

Hallo!

Ich hätte eine Frage zu diesem Beispiel:

Ein glasförmiger Becher hat außen die Gestalt eines halben einschaligen Hyperboloids, das durch Rotation einer Hyperbel 1. HL (a=3cm) um

y

entsteht. Am oberen Becherrand ist der Durchmesser

10

cm, der innere 9 cm. Die Höhe ist

10

cm, die Tiefe des Innenraumes 9 cm. Der Innenraum hat die Gestalt eines Paraboloids.
Zeige, dass die Hyp und die Par durch 25x²-4y²=225 und 9y=4x²+9 beschrieben werden. Berechne

V

und die Masse (Glas 2,6g/cm³), sowie die Höhe des Flüssigkeit bei einem achtel Liter Wasser.

Also die normale Form einer Hyperbel ist bx²+ay²=a²b². Wenn

a 3

ist, wie kann ich es auf 4 erweitern? Ich glaube ich habe ein Blackout beim Berechnen beider Gleichungen. Kann mit jemand helfen?

Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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MBler07 aktiv_icon

18:42 Uhr, 05.05.2010

Hi

Wenn die Aufgabe so dasteht, dann kannst du die gegebenen Punkte (Hyperbel:

(5 | 10);

Parabel:

(0 | 1)

und

(4,5 | 10))

einfach einsetzen. Gehts auf, hast du's gezeigt.
Falls du die Funktionen durch einsetzen der Punkte in die allgemeine Form berechnen willst, kannst du das natürlich auch machen. Sie lautet übrigens:

b^{2} x^{2} - a^{2} y^{2} = a^{2} b^{2}

Einfach einsetzen:

b^{2} \cdot 5^{2} - 3^{2} \cdot 10^{2} = 3^{2} \cdot b^{2}

25 b^{2} - 900 = 9 b^{2}

16 b^{2} = 900

b^{2} = \frac{225}{4}

b = \pm \frac{15}{2}

\to \frac{225}{4} x^{2} - 9 y^{2} = 9 \cdot \frac{225}{4}

225 x^{2} - 9 \cdot 4 y^{2} = 9 \cdot 225

25 x^{2} - 4 y^{2} = 225

Den Rest kannst du?

Grüße

nini84 aktiv_icon

20:06 Uhr, 05.05.2010

Wow! Vielen Dank, das war ja echt ganz logisch!
Bei der Parabel hab ich noch eine Frage. Es ist ja angegeben 9y=4x²+9. Warum weiß ich, dass

c = 9,

die Parabel beginnt doch bei

y = 1,

müsste ich da nicht

+ 1

rechnen?
Beim Volumen berechne ich eigentlich nur das Integral der Parabel, richtig, also ich integriere von

y = 1

bis

9,

weil das Glas zwischen diesen Grenzen liegt und rechne

Π \cdot

dem Integral von ((9y-9)durch4)

d y,

stimmt das?

MBler07 aktiv_icon

21:52 Uhr, 05.05.2010

"Bei der Parabel hab ich noch eine Frage. Es ist ja angegeben 9y=4x²+9. Warum weiß ich, dass

c = 9,

die Parabel beginnt doch bei

y = 1,

müsste ich da nicht

+ 1

rechnen?"
Stimmt. Aber nur bei

y = . .

. Deine linke Seite sieht hier etwas anders aus...

Integral:
Warum von 1 bis 9? Ich würde die Grenzen 1 und

10

vorschlagen. Ansonsten stimmts.

"Wow! Vielen Dank, das war ja echt ganz logisch! "
Um Missverständnissen vorzubeugen und da ich glaube, dass du das auf die Rechnung beziehst, sag ichs nochmal explizit:
Diese ganze Rechnung ist unnötig! Beachte meinen ersten Satz.
Ich hab sie nur aufgeschrieben, ums dir mal zu zeigen.

nini84 aktiv_icon

08:17 Uhr, 06.05.2010

Ich hab es gerade durchgerechnet und weiß grad nicht wie man von 16b²=900 auf b²=2254 kommt, ich muss doch durch

16

dividieren und bekomme dann

7,5

für

b

raus. Welchen Schritt machst du da?

MBler07 aktiv_icon

08:24 Uhr, 06.05.2010

Ich vermute mal, dass dir meine Rechnung falsch angezeigt wird. Schau in der Hilfe unter "benötigte Software" mal, ob du das alles hast.

Da steht
"16b^2=900
"b^2=225/4
"b=15/2

Schönen Tag noch. Muss jetzt in die Vorlesung.

nini84 aktiv_icon

08:34 Uhr, 06.05.2010

Aja, danke!

Danke für die vielen schnellen und hilfreichen Antworten! :-)

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