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beweis der summenregel der integralrechnung

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Beweis, Integral, Summenregel

medo3

20:08 Uhr, 05.09.2010

Hallo,
ich hab ein kleines problem mit einer Aufgabe. Aufgabe ist es die Summenregel der
Integralrechnung $\int_{a}^{b} (f (x) + g (x)) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x$ zu beweisen. dabei

sollen mit einer Zerlegung des Intervalls [a,b] und der funktion h(x):=f(x)+g(x)... starten.

ich hab schon in vielen Büchern nachgesehen, doch dort erfolgt der beweis mit den Stammfunktionen, die wir noch nicht richtig durchgenommen haben....

ich hoffe ihr könnt mir helfen

danke medo3

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Alx123 aktiv_icon

21:41 Uhr, 05.09.2010

Hallo,
sollst du auch noch die Integrierbarkeit von

f + g

unter der Voraussetzung:

f, g,

sind integrierbar, zeigen oder nur die Summenformel?

medo3

08:01 Uhr, 06.09.2010

hey,
soweit ich weiß nur die Summenregel

hagman aktiv_icon

17:00 Uhr, 06.09.2010

. .

. und es geht vermutlich um das Riemann-Integral.

Sei

I_{f} = \int_{a}^{b} f (x) d x

und entsprechend

I_{g} = \int_{a}^{b} g (x) d x

.
Da

f

integrierbar ist, gibt es zu jedem

ε > 0

ein

δ = δ (f, ε)

mit

| \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - x_{i - 1}) \cdot f (ξ_{i}) - I_{f} | < ε

für alle

a = x_{0} \leq ξ_{1} \leq x_{1} \leq ξ_{2} \leq . .

\leq ξ_{n} \leq x_{n} = b

mit

| x_{i} - x_{i - 1} | < δ

für alle

i

.
Entsprechendes gilt für

g

.
Betrachte jetzt

h

und ein

ε > 0

.
Wähle

δ = min (δ (f, \frac{ε}{2}), δ (g, ε,2)) > 0

.
Für jede Zerlegung

a = x_{0} \leq ξ_{1} \leq x_{1} \leq ξ_{2} \leq . .

\leq ξ_{n} \leq x_{n} = b

mit

| x_{i} - x_{i - 1} | < δ

gilt dann

| \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - x_{i - 1}) \cdot f (ξ_{i}) - I_{f} | < \frac{ε}{2}

wegen

δ \leq δ (f, \frac{ε}{2})

und ebenso

| \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - x_{i - 1}) \cdot g (ξ_{i}) - I_{g} | < \frac{ε}{2}

Es folgt

| \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - x_{i - 1}) \cdot h (ξ_{i}) - (I_{f +} I_{g}) |

= | \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - x_{i - 1}) \cdot f (ξ_{i}) + \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - x_{i - 1}) \cdot f (ξ_{i}) - (I_{f +} I_{g}) |

\leq | \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - x_{i - 1}) \cdot f (ξ_{i}) - I_{f} | + | \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - x_{i - 1}) \cdot g (ξ_{i}) - I_{g} | < ε,

folglich letzlich

\int_{a}^{b} h (x) d x = I_{f} + I_{g}

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