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exponentialfunktion

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Hochpunkt, Nullstellen

Sheluvsfashion aktiv_icon

18:10 Uhr, 16.05.2013

Also die Aufgabe lautet : Eine Firma berechnet die täglichen Verkaufszahlen eines Handymodells, das neu eingeführt wird, modellhaft mit der Funktion

f_{k} (t) = k \cdot (t - 15) \cdot e^{- 0,01 t} + k \cdot 15 (k > 0, r

Anzahl der Tage nach Einführung des neuen Modells)

a)

Die Firma erwirtschaftet einen Gewinn, wenn täglich mehr als

4500

Handys verkauft werden. Berechnen Sie die Länge des Zeitraums in dem ein Gewinn erwirtschaftet wird für

k = 200

b)

Berechnen Sie für

k = 200

den Zeitpunkt, zu dem die tägliche Verkaufszahl maximal ist und geben Sie die maximale Verkaufszahl an.

c)

Zeigen, Sie dass der Zeitpunkt zu dem die Verkaufszahl maximal ist, unabhängig von

k

ist.

Also für

a f_{k} (t) = k \cdot (t - 15) \cdot e^{- 0,01 t} + k \cdot 15

= 200 \cdot (t - 15) \cdot e^{- 0,01 t} + 200 \cdot 15 = 4500

= 200 t - 3000 \cdot e^{- 0,001} t + 3000 = 4500

= 200 t - 3000 \cdot e^{- 0,001 t} = 4500

und dann weiß ich nicht mehr weiter also wie man das am besten nach

t

auflöst

b)und wenn ich es versuche abzuleiten, um den Hochpunkt zu bestimmen kommt bei mir das raus

f' (x) = 200 - 3000 \cdot - 0,01 \cdot e^{- 0,01 t}

Irgendwie habe ich das Prinzip verstanden aber meine Berechnungen scheinen falsch zu sein

: (

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Nullstellen
Nullstellen bestimmen
Polynomdivision

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prodomo aktiv_icon

18:55 Uhr, 16.05.2013

Bis auf einen kleinen Fehler hast du richtig begonnen. Aus

200 \cdot (t - 15) \cdot e^{- \frac{t}{100}} + 3000 > 4500

folgt zunächst

200 \cdot (t - 15) \cdot e^{- \frac{t}{100}} > 1500

und dann

(t - 15) \cdot e^{- \frac{t}{100}} > 7,5

. Auflösen kann man das nicht, aber eine Wertetabelle anzeigen lassen. Der Bereich geht von

25

bis etwa

391

(ganzzahlig gerundet). Die Tabelle zeigt auch

t_{max} = 115

. Das passt genau zum Maximum, weil

f' (t) = 200 \cdot [e^{- \frac{t}{100}} - \frac{1}{100} \cdot e^{- \frac{t}{100}} \cdot (t - 15)]

ist. Soll das 0 werden, muss du bedenken, dass die e-Fkt. nie 0 wird . Also klammere sie aus, dann bleibt

200 \cdot e^{- \frac{t}{100}} \cdot (1 - \frac{t - 15}{100}) = 0

und damit

t = 115

.
Das ist von

k

unabhängig, weil die

200

(das

k)

nicht 0 wird und die Konstante

15 \cdot k

wegfällt.

Sheluvsfashion aktiv_icon

19:32 Uhr, 16.05.2013

Danke! :-)

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