Potenzfunktionen

Die Funktionsgleichung einer Potenzfunktion hat folgende Form:



Dabei ist:

${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in ℝ\backslash \left\{0\right\} }$ eine reelle Zahl außer die Null,

${\displaystyle \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathbb{Z}\backslash \left\{0\right\} }$ eine ganze Zahl außer die Null.

Beispiele für Potenzfunktionen:

1. ${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=2,\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1 \Rightarrow \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>} }$ eine Gerade durch den Ursprung

${\displaystyle 2. \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=-1,\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=2 \Rightarrow \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2 }$ eine Parabel [mehr dazu]

3. ${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1,\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=-3 \Rightarrow \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-3}=\frac{1}{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3} }$ eine Hyperbel


Wichtige Eigenschaften von Potenzfunktionen:

Definitionsbereich [mehr dazu], Wertebereich, Symmetrie [mehr dazu], etc.. sind vom Exponenten ${\displaystyle \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ abhängig.


1.Fall:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

${\displaystyle \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ist positiv und gerade ${\displaystyle (\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}.\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>} \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=4)}$



Definitionsbereich [mehr dazu]: ${\displaystyle \mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=ℝ}$

Wertebereich: ${\displaystyle \mathrm{W<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={ℝ}^{+}=[0;+\infty ]}$

Symmetrie [mehr dazu]: Der Graph einer solchen Potenzfunktion ist symmetrisch zur y-Achse.

Alle Graphen gehen durch den Ursprung ${\displaystyle \left(0|0\right)}$




2.Fall:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

${\displaystyle \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ist positiv und ungerade ${\displaystyle (\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}.\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>} \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=5)}$



Definitionsbereich [mehr dazu]: ${\displaystyle \mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=ℝ}$

Wertebereich: ${\displaystyle \mathrm{W<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=ℝ}$

Symmetrie [mehr dazu]: Der Graph einer solchen Potenzfunktion ist symmetrisch zum Ursprung.

Alle Graphen gehen durch den Ursprung ${\displaystyle \left(0|0\right)}$




3.Fall:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

${\displaystyle \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ist negativ und gerade ${\displaystyle (\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}.\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>} \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=-6)}$



Definitionsbereich [mehr dazu]: ${\displaystyle \mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=ℝ\backslash \left\{0\right\}}$

Wertebereich: ${\displaystyle \mathrm{W<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={ℝ}^{+}=]0;+\infty ]}$

Symmetrie [mehr dazu]: Der Graph einer solchen Potenzfunktion ist symmetrisch zur y-Achse

Die Koordinatenachsen sind Asymptoten.




4.Fall:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

${\displaystyle \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ist negativ und ungerade ${\displaystyle (\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}.\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>} \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=-3)}$



Definitionsbereich [mehr dazu]: ${\displaystyle \mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=ℝ\backslash \left\{0\right\}}$

Wertebereich: ${\displaystyle \mathrm{W<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=ℝ\backslash \left\{0\right\}}$

Symmetrie [mehr dazu]: Der Graph einer solchen Potenzfunktion ist symmetrisch zum Ursprung.

Die Koordinatenachsen sind Asymptoten.



Für die Ableitung [mehr dazu] einer Potenzfunktion gilt stets:




Die Umkehrfunktion der Potenzfunktion ist die Wurzelfunktion