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Ableitung des "cos - Additionstheorems"

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Additionstheoreme für Sinus und Kosinus

Tags: Additionstheoreme, Herleitung, Kosinus

 
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Baessi

Baessi

17:50 Uhr, 07.07.2008

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Hi,

ich muss für die Schule ein Referat machen, in dem ich die Additionstheoreme herleite, sin( α + β ) hab ich bereits hergeleitet, und tan( α + β ) auch davon schon abgeleitet. Aber wie komm ich von sin( α + β )=sin α cos β + sin β cos α zu cos( α + β )=cos α cos β - sin α sin β ?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
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mokka60

mokka60 aktiv_icon

18:34 Uhr, 07.07.2008

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Hallo,

verwende cos(φ)= sin(90°-phi), wobei dann φ durch α+β ersetzt wird, also:
cos(alpha+beta)=sin(90°-(alpha+beta))
aber Achtung, jetzt musst du rechts die Klammern noch anders setzen, sonst rechnest du "im Kreis herum", d.h. du bekommst sonst als Ergebnis nur: cos(φ)=cos(φ).

Also:cos(alpha+beta)=sin(90°-(alpha+beta))= sin((90°-alpha)+beta)).

Jetzt wendest du das dir bereits bekannte Add.theorem für sin(α+β) an, also für eine Summe von 2 Winkeln, wobei jetzt der 1. Summand 90°-alpha und der 2. Summand nur β heißt, und die Winkelfunktionen für den 1. Summanden zerlegst du dann noch mit dem Add.theorem für sin(α-β).
Dann noch beachten, dass sin(-α)=-sin(α) und cos(-α)=cos(α).

MfG
Baessi

Baessi

18:37 Uhr, 07.07.2008

Antworten
okay, danke,
ich versuchs mal, wenn noch fragen auftauchen, meld ich mich wieder 〉
Baessi

Baessi

18:46 Uhr, 07.07.2008

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cos(alpha+beta)=sin(90°-(alpha+beta))= sin((90°-alpha)+beta))
da versteh ich die letzte umformung nicht...
wieso is da nicht sin((90°-alpha) -β) ??
Antwort
mokka60

mokka60 aktiv_icon

19:33 Uhr, 07.07.2008

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Hallo,

sorry!

Du hast natürlich recht, es muss sin((90°-alpha)-beta) heißen und die Winkelfunktionen von (90°-alpha) NICHT weiterzerlegen, sondern einfach wieder in die jeweils "andere" Winkelfunktion (nur mit α) zurückverwandeln. Dann müsste es klappen.

MfG
Baessi

Baessi

20:00 Uhr, 07.07.2008

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hey,
was meinst du mit "weiterzerlegen"? :P

ich habs jetzt so: nur mit dem problem, dass ich das theorem, das ich herleiten soll, in der herleitung selbst auch verwende ...


cos(alpha+beta)=sin(90°-(alpha +β))= sin((90°-alpha)-beta)=
=sin(90°-alpha)cos(beta) - sin(beta)cos(90°-alpha)=
=[sin90°cos(alpha)- sin(alpha)cos90°]cos(beta) - sin(beta)[cos90°cos(alpha)+ sin90°sin(alpha)]= cos(α)cos(β)-sin(β)sin(α)

hmm, wie gesagt, ich nimm das herzuleitende bereits ind er herleitung her
Antwort
mokka60

mokka60 aktiv_icon

22:53 Uhr, 07.07.2008

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Hallo,

.... =sin(90°-alpha)cos(beta) - sin(beta)cos(90°-alpha)=
=cos(α)cos(β)-sin(β)sin(α)=
=cos(α)cos(β)-sin(α)sin(β)
fertig!
denn: sin(90°-alpha)=cos(alpha) und cos(90°-alpha)=sin(alpha). Das meinte ich mit "zurückverwandeln"!

MfG
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