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Ableitung von trigonomischen Umkehrfunktionen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, Trigonometrische Funktionen, Umkehrfunktion

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15:52 Uhr, 01.07.2012

Gegeben:

f (x) =

arctan(x) - arcsin

(\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}})

Zu beweisen sei rechnerisch, dass

f' (x) = 0

Ableitung von arctan(x)

= \frac{1}{1 + x^{2}}

Ableitung von arcsin

(\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}) \Rightarrow

Innere Ableitung

(\frac{\sqrt{1 + x^{2}} - x^{2} \cdot {(1 + x^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{1 + x^{2}})

Äussere Ableitung

\frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x^{2}}{1 + x^{2}})}}

\frac{1}{1 + x^{2}} = \frac{\sqrt{1 + x^{2}} - x^{2} \cdot {(1 + x^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x^{2}}{1 + x^{2}})}}

\frac{\sqrt{1 - (\frac{x^{2}}{1 + x^{2}})}}{1 + x^{2}} = \frac{\sqrt{1 + x^{2}} - x^{2} \cdot {(1 + x^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{1 + x^{2}}

\sqrt{1 - (\frac{x^{2}}{1 + x^{2}})} = \sqrt{1 + x^{2}} - x^{2} \cdot {(1 + x^{2})}^{- \frac{3}{2}}

\sqrt{1 - (\frac{x^{2}}{1 + x^{2}})} = \sqrt{1 + x^{2}} \cdot [1 - x^{2} \cdot {(1 + x^{2})}^{- 2}]

\sqrt{1 - (\frac{x^{2}}{1 + x^{2}})} = \sqrt{1 + x^{2}} \cdot [1 - \frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}]

\frac{1 - (\frac{x^{2}}{1 + x^{2}})}{1 + x^{2}} = {[1 - \frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}]}^{2}

\frac{1}{1 + x^{2}} - (\frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}) = 1 - 2 \cdot (\frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}) + (\frac{x^{4}}{{(1 + x^{2})}^{4}})

\frac{x^{4}}{{(1 + x^{2})}^{4}} - \frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \frac{x}{1 + x^{2}} + 1 = 0

u = \frac{x}{1 + x^{2}}

u^{4} - u^{2} - u + 1 = 0

u = 1

\frac{x}{1 + x^{2}} = 1

x = 1 + x^{2}

x^{2} - x + 1 = 0

So weit bin ich gekommen. Die Lösung kann jedoch nicht stimmen.
Wer kann mir weiterhelfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Umkehrfunktion

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