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Einen Funktionsterm bestimmen (Aufgabe)

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Ganzrationale Funktionen, Tiefpunkt, Wendepunkt

 
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fono1

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10:05 Uhr, 15.11.2009

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Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist zur x-Achse symmetrisch, hat einen Tiefpunkt auf der x-Achse und an der Stelle x=1 einen Wendepunkt.
Bestimmen Sie einen möglichen Funktionsterm.


Ich kann mit dieser Aufgabe nichts anfangen und weiß nicht wie man das lösen soll???

danke und

lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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bruchspezialistin

bruchspezialistin aktiv_icon

10:19 Uhr, 15.11.2009

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Du meinst sicher, dass der Graph zur y-Achse symmetrisch ist.

Das bedeutet, dass die Funktion nur gerade Exponenten haben kann.

Für den Tiefpunkt weißt Du, dass f(xt)=0 und f'(xt)=0 ist. Für den Wendepunkt weißt Du, dass f''(1)=0 ist. Du kannst also drei Gleichungen aufstellen.
fono1

fono1 aktiv_icon

10:43 Uhr, 15.11.2009

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Ja ich meinte, dass der Graph zur y-Achse symmetrisch ist.

Was sind denn das für drei Gleichungen??? (Gauss-Algorithmus)?

Kannste die mal bitte aufschreiben.
Antwort
bruchspezialistin

bruchspezialistin aktiv_icon

11:04 Uhr, 15.11.2009

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f(x)=ax4+bx2+c (nur gerade Exponenten)

f'(x)=4ax3+2bx

f''(x)=12ax2+2b


f''(1)=0

⇔12a+2b=0
⇔b=-6a


f(xt)=f'(xt)

⇔axt4+bxt2+c=4axt3+2bxt

⇔axt4-4axt3-6axt2+12axt+c=0

⇔c=-axt4+4axt3+6axt2-12axt


f(xt)=0
⇔axt4-6axt2-axt4+4axt3+6axt2-12axt=0
⇔4axt3-12axt=0
⇔xt⋅(4axt2-12a)=0
⇔xt=0 oder |xt|=3

a kannst Du frei wählen. b,c sind dann jeweils abhängig davon.
fono1

fono1 aktiv_icon

11:24 Uhr, 15.11.2009

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also könnte ich auch

f(x)=ax^8+bx^4+c

eingeben...

Kann man das auch mit dem Gauss-Algorythmus lösen?
Antwort
bruchspezialistin

bruchspezialistin aktiv_icon

11:29 Uhr, 15.11.2009

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Probe ergibt, dass xt=0 ein Hochpunkt ist. Für |xt|=3 bekommt man jeweils Tiefpunkte. Beim Gauß-Algorithmus kann ich Dir auch anhieb nicht weiterhelfen.
Frage beantwortet
fono1

fono1 aktiv_icon

11:31 Uhr, 15.11.2009

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ok, danke für die hilfe
lg
fono1