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Höhenunterschied berechnen

Schüler

Tags: Cosinus, Rechtwinkliges Dreieck, Sinus, Tangens

Lilora

13:46 Uhr, 17.04.2019

Hallo,
bei der Aufgabe im Bild habe ich für

a)

den Rechenweg (im 2. Bild) aufgestellt. Ist der so richtig?
Und wie rechnet man den prozentualen Anstieg bei

b)

aus?
Vielen Dank schonmal für die Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Respon

13:57 Uhr, 17.04.2019

Deine Bezeichnungen sind etwas "klobig".
Vergleiche

x = 40 \cdot sin (18

° )

y = 116 \cdot sin (8

° )

h = x + y

Lilora

14:07 Uhr, 17.04.2019

:-) Entschuldigung, wegen meiner Bezeichnungen. Ich bin schon einige Jahre aus der Schule raus und weiß oft nicht mehr, wie es richtig bezeichnet wird. Da helf ich mir mit für mich verständlichen Abkürzungen aus. Danke für die besseren Bezeichnungen.
Dann ist mein Lösungsweg zu

a)

also richtig.
Und wie berechne ich Teil

b)

Respon

14:16 Uhr, 17.04.2019

Wie wurde das in der Schule definiert ?
Normalerweise lautet die Def. so
de.wikipedia.org/wiki/Steigung#Stra%C3%9Fenverkehr

Lilora

14:30 Uhr, 17.04.2019

Das weiß ich leider nicht, da müsste ich später meinen Sohn mal fragen. Aber nach dem Link von dir wäre die Berchnung dann doch so:

Anstieg(in

%) = 100 \cdot \frac{y}{116}

Oder?

Enano

09:58 Uhr, 18.04.2019

Bei Wiki steht doch unter "Straßenverkehr"

u . a

. folgendes:

"Eine Angabe von

12 %

Steigung bedeutet zum Beispiel, dass pro

100 m

in waagerechter Richtung die Höhe um

12 m

zunimmt."

116 m

ist doch nicht die Länge in waagerechter Richtung (Basis der schiefen Ebene), sondern die der Schräge.

Roman-22

11:27 Uhr, 18.04.2019

>

Bei Wiki steht doch unter "Straßenverkehr"

u . a

. folgendes:
Und läss man seinen Blick ein wenig weiter nach unten schweifen, steht dort auch

m = tan (α)

;-)

@Lilora
Bedenke bei deinem falschen Ansatz: Wäre die Strecke nicht

116 m

lang sondern

1160 m,

so würde das an der Steigung (auch am prozentuellen Anstieg) doch nichts ändern. Bei deinem Ansatz würde aber ein wesentlich kleinerer Wert rauskommen.
Wofür hat dein Sohn denn für diese Teilaufgabe

50 % (1

Punkt) angerechnet bekommen? Vielleicht hat er einen teilweise richtigen Ansatz und ist bloß numerisch nicht auf die rund

14 %

gekommen?

Enano

12:24 Uhr, 18.04.2019

"Bei deinem Ansatz würde aber ein wesentlich kleinerer Wert rauskommen."

Nein, wieso? Bei ihrem Ansatz wäre dann doch auch "y"

10

mal so groß.

Roman-22

13:54 Uhr, 18.04.2019

Ach ja, das

y

hatte ich überlesen. Vermutlich ignoriert, weil ich nicht wusste, woher das jetzt kam und was es bedeuten sollte ;-) Bezog sich wohl auf die Bezeichnungen in Respons Antwort. Letztere halte ich nicht unbedingt für die bessere Wahl im Vergleich zu den durchaus gut dokumentierten Bezeichnungen der OP.

G K_{1}

hat im Grunde mehr Bezug zur Aufgabe als das Allerwelts

x

. Wenn, dann wäre eher

h_{1}

oder noch deutlicher

Δ h_{1}

eine zweckmäßigere Bezeichnung. Aber Gusto und Ohrfeigen sind eben verschieden und ich finde es zumindest wohltuend, wenn in einer Rechnung die gesuchte Variable mal nicht einfalls- und bezugslos

x

oder

y

heißt, sondern einen selbsterklärenden, zur Aufgabe passenden, Namen hat, der dann auch nicht unbedingt nur aus einem Buchstaben bestehen muss.

Lilora

13:31 Uhr, 19.04.2019

Vielen Dank für für Eure Antworten Enano und Roman-22.
Der Aufgabenzettel war von einem Mirschüler, mein Sohn hatte andere Aufgaben. Aber ich wollte mit ihm üben und da nehmen wir, was wir können, damit er es versteht ;-)
Zur Berechnung des Anstiegs:
Ich habe leider immer noch keine Ahnung, wie wir den Anstieg nun ausrechnen sollen. Ich dachte nach dem Link von Respon, dass wir das irgendwie ins Verhältnis zueinander setzen müssen, um es auszurechnen. Dass es eine Schräge ist, hatte ich nicht bedacht. Also müüsen wir erst die Länge der Ankathete ausrechnen und dann diese statt

116 m

ins Verhältnis setzen?
Sorry, ich versteh es gerade nicht.
Aber vielen Dank für Eure Mühe!

Roman-22

13:45 Uhr, 19.04.2019

>

Also müüsen wir erst die Länge der Ankathete ausrechnen und dann diese statt

116 m

ins Verhältnis setzen?
Ja, das wäre richtig! Die Gegenkathete

(G K_{2}

oder

y)

hast du ja schon berechnet (Höhenunterschied) und die Ankathete

A K_{2}

würdest du dann mit

A K_{2} = 116 \cdot cos (8^{\circ}) m

berechnen. Und das Verhältnis

G K_{2} : A K_{2}

wäre dann der gesuchte Anstieg.

Allerdings gehts einfacher, denn

\frac{G K_{2}}{A K_{2}} = {tan 8}^{\circ} \approx 0,141 = 14,1 %

.

So, wie es eben bei Tante Wiki steht

\to m = tan (α)

.
Kurz: Der Anstieg (die Steigung) ist gleich dem Tangens des Anstiegswinkels.

Lilora

13:53 Uhr, 19.04.2019

Vielen Dank Roman-22!
Endlich hab ich es :-)
Aber eine Frage noch: Ich habe mir Eure Antworten nochmal durch den Kopf gehen lassen und habe folgende Verhältnisgleichung aufgestellt:

\frac{16,14}{116} = \frac{x}{100} %

Da komm ich auf

x = 13,9 %

Wäre der Rechenweg auch richtig? Oder ist das Zufall, dass auch ca.

14 %

rauskommen?

Lilora

14:01 Uhr, 19.04.2019

Nee, ich glaub, damit hab ich eher ausgerechnet, welche Höhe GK2 bei

100 m

Schräge hätte. Was aber dann doch auf ca.

14 %

Steigung schließen lässt, oder?

Roman-22

14:02 Uhr, 19.04.2019

>

Wäre der Rechenweg auch richtig?
Nein! Was du berechnest ist

\frac{G K_{2}}{H y p o_{2}}

und das ist der Sinus von den 8°. Die Steigung ist aber der Tangens von 8°.
Du siehst ja, dass der Wert, den du rausbekommst, nicht richtig ist, sondern nur in der richtigen Gegend liegt. Für sehr kleine Winkel nähern sich Sinus- und Tangenswert an, wobei der Tangenswert aber immer etwas größer ist als der Sinuswert.

Lilora

14:21 Uhr, 19.04.2019

Ok, tausend Dank für Eure Hilfe!
Das Matheforum ist echt toll! Man bekommt schnelle und hilfreiche Tipps und ist trotzdem selbst noch gefordert, die richtige Lösung herauszufinden. Ich werde meinem Sohn mal ans Herz legen, sich hier anzumelden ;-)

Lilora

14:22 Uhr, 19.04.2019

Enano

16:38 Uhr, 19.04.2019

"...und habe folgende Verhältnisgleichung aufgestellt:"

Die führt zwar zu einem falschen Ergebnis, aber du kämst über eine andere Verhältnisgleichung zum richtigen Ergebnis:

Wenn

y

die Höhenzunahme auf der Länge der

A K_{2}

ist und

y_{100}

die Höhenzunahme auf

100 m

ist, dann ist gem. Strahlensatz:

\frac{y_{100}}{100} = \frac{y}{A K_{2}} = (116 \cdot sin

8°)

/ (116 \cdot cos

8°

) = sin

8°/

cos

8°

= tan

8°

\approx 0,141 = 14,1 %

1466536

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