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Identität beweisen

Universität / Fachhochschule

Tags: Identität, Kosinus, Sinus

 
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anonymous

anonymous

11:27 Uhr, 11.12.2011

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Hallo,


ich muss für z∈ℂ zeigen, dass folgende Identitäten gelten.


cos(i⋅z)=coshz und cosz =cosh(i⋅z)

cos(z)=cos(z) ich habe leider keine Ahnung wie ich den konjungiert strich hier mache, aber beim linken cos(z) ist das z konjungiert beim rechen der cos(z) komplett.

sinh(2*z)=2*sinhz*coshz


Leider kann ich damit so gut wie nichts anfangen und weiss so gut wie nicht wie ich das zeigen soll? So lange umformen bis jeweils das andere herauskommt?

hat jemand tipps?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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vulpi

vulpi aktiv_icon

17:29 Uhr, 11.12.2011

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bei cos(iz)=cosh(z) vllt. so vorgehen:

Vorbemerkung:
sinh(ix)=i⋅sin(x) bzw. sin(ix)=i⋅sinh(x)
cosh(ix)=cos(x) bzw. cos(ix)=cosh(x)
(Das läßt sich mit den ex- Definitionen der Hyperbel-Funktionen ganz locker nachrechnen)

z=a+bi
Nach Addi-Theorem ist dann
cosh(a+bi)=cosh(a)cosh(bi)+sinh(a)sinh(bi)
In Trigs-Funktionen umwandeln:
cosh(a+bi)=cos(ai)cos(b)+-i⋅sin(ai)⋅i⋅sin(b)
cosh(a+bi)=cos(ai)cos(b)+sin(ai)⋅sin(b)
cosh(a+bi)=cos(ai-b)        | Nach cos-Add.-Theorem
ai-b ist aber genau iz=i⋅a+i⋅i⋅b

Nach dem Muster müßten auch die anderen Aufgaben funzen


lg
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