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Identitäten beweisen

Schüler Kolleg, 12. Klassenstufe

Tags: Kosinus, Sinus

bongi81 aktiv_icon

19:18 Uhr, 22.05.2010

Hallo,

wir haben eine Aufgabe bekommen, bei der ich noch nicht einmal so genau weiß, was gemeint ist. Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt. Die Aufgabe sieht so aus:

"Beweisen Sie dei folgenden Identitäten ohne Verwendung eines Taschenrechners:

sin (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2}

sin (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2} \sqrt{3}

cos (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2} \sqrt{3}

cos (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2}

sin (\frac{π}{4}) = \sqrt{0,5}

cos (\frac{π}{4}) = \sqrt{0,5}

Eine möglichkeit ist die Werte mit elementaren geometrischen Methoden zu bestimmen. Sie können auch Regeln, Formeln, etc. verwenden."

Ich zerbreche mir schon den ganzen Tag den Kopf darüber. Ich hoffe, dass ihr ein paar Tipps für mich habt...

Danke schonmal...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Alx123 aktiv_icon

19:21 Uhr, 22.05.2010

Hallo,
hast du schon mal an den Einheitskreis gedacht?

bongi81 aktiv_icon

19:23 Uhr, 22.05.2010

Ja, schon. Aber ich habe da auch keine Idee bekommen.

Ich weiß auch nicht, wie ich da einen Winkel von

\frac{π}{6}

einzeichnen kann.

Alx123 aktiv_icon

19:29 Uhr, 22.05.2010

Du zeichnest einfach ein rechtwinkliges Dreieck in den Einheitskreis. Es gilt ja

\sin (α) = \frac{a}{c} = a

. Das ist einfach eine Skizze die dabei helfen soll zuzeigen wie man die Werte berechnen soll, du brauchst also nicht " exakt " irgendwelche Winkel einzeichnen. Es ist ja bekannt das im Einheitskreis gilt:

α = 36 0^{\circ} \overset{}{\Leftrightarrow} 2 π

deshalb gilt natürlich:

α = 3 0^{\circ} \overset{}{\Leftrightarrow} \frac{π}{6}

wenn man das Dreieck wie in der Grafik erweitert, hat der Winkel am Ursprung ja den doppelten Wert, nämlich:

α = 6 0^{\circ}

d.h. alle Seiten haben natürlich den gleichen Winkel und sind auch gleich lang und da die Länge der Seite

c

bekannt ist, gilt natürlich für

a

1 = 2 a \overset{}{\Leftrightarrow} \frac{1}{2} = a = \sin (6 0^{\circ}) = \sin (\frac{π}{6})

alle diese Aufgaben kannst du so lösen.

bongi81 aktiv_icon

20:11 Uhr, 22.05.2010

Okay, das habe ich verstanden.

Dann werde ich das mal versuchen...

Dankeschön!

bongi81 aktiv_icon

20:24 Uhr, 22.05.2010

Wie mache ich das denn dann bei den krummen Werten, wie

\sqrt{0,5}

Alx123 aktiv_icon

20:41 Uhr, 22.05.2010

Das ist immer wieder das Gleiche, dazu passt auch wieder das Bild, jetzt hat aber der Winkel im Ursprung

9 0^{\circ}

, man kann also Pythagoras benutzen:

2 a = \sqrt{c^{2} + c^{2}} = \sqrt{2} \overset{}{\Leftrightarrow} a = \frac{\sqrt{2}}{2}

bongi81 aktiv_icon

10:37 Uhr, 23.05.2010

Ich hab's gerade hinbekommen :-)
Vielen Dank für die tolle Hilfe

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