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Integralrechnung - Steckbriefaufgabe

Schüler Kolleg, 12. Klassenstufe

Tags: Fläche, Fläche berechnen, Fläche bestimmen, Flächeninhalt, Gerade, Grenzen, Integral, Integralfunktion, Integralrechnung

Cyberbat aktiv_icon

18:58 Uhr, 21.06.2016

Hallo liebes OnlineMathe Forum,

Ich habe von meinem Lehrer eine Übungsklausur zum Thema Integralrechnung bekommen. Das klappt auch soweit ganz gut, aber bei einer Aufgabe finde ich keinen Lösungsansatz.

Die Aufgabe lautet: Bestimmen Sie die Steigung

m

der Geraden so, dass die von der Parabel und der Geraden eingeschlossenen Fläche 1FE beträgt.

Für die Parabel habe ich die Funktion:

f (x) = x^{2} - 4 x + 4

Für die gerade die Funktion:

g (x) = m \cdot x + 4

Ich soll also eine Steigung

m

für

g (x)

herausfinden, die so groß ist, dass wenn ich das Integral berechne zwischen

g (x)

und

f (x),

als Ergebnis 1 FE herauskommt. Allerdings habe ich keinen Ansatz dafür wie ich an diese Steigung herankommen soll.

Mfg Cyberbat

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Flächeninhalte
Flächenmessung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Integralfunktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Roman-22

19:35 Uhr, 21.06.2016

Das Parabel und Gerade zwei Punkte gemein haben zeigt ja deine Zeichnung einer der beiden ist netterweise von Geradenanstieg

m

völlig unabhängig.
Beginne also damit, den zweiten Schnittpunkt (die x-Koordinate reicht) in Abhängigkeit von

m

zu berechnen. Damit hast du immerhin schon einmal deine Intgegrationsgrenzen.

Wenn dich das

m

trotzdem noch zu sehr verwirrt, dann wähle dir übungshalber ein beliebiges konkretes

m,

zum Beispiel

m = - 2

und berechne die Fläche zwischen den beiden Graphen (Für

m = - 2

solltest du als Fläche

A = \frac{4}{3} F E

erhalten).

Das was du dabei machst, wiederhole dann, nur dass du diesmal den Anstieg

m

variabel hältst, also das "m" in deiner Rchnung einfach mitschleppst.

R

Cyberbat aktiv_icon

20:39 Uhr, 21.06.2016

Hallo Roman,

schonmal vielen Dank für ihre Antwort. Allerdings stehe ich irgendwie immer noch auf dem Schlauch. Ich habe die Übung die Sie mir genannt haben gemacht, in dem ich für

m

einmal die Werte

m = - 2

und

m = - 3

eingesetzt habe. Also habe ich mir das so aufgeschrieben:

\int_{0}^{2} g (x) - f (x) = d (x)

\int_{0}^{2} - x^{2} + 2 x = {[- \frac{1}{3} x^{3} + x^{2}]}_{0}^{2}

d (x) = - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2^{2} - (- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 0^{2}) = \frac{4}{3}

\int_{0}^{3} g (x) - f (x) = d (x)

\int_{0}^{3} - x^{2} + 3 x = {[- \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}]}_{0}^{3}

d (x) = - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} + \frac{3}{2} \cdot 3^{2} - (- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{3}{2} \cdot 0^{2}) = \frac{9}{2}

FE

Ich verstehe allerdings leider immer noch nicht, wie ich da anfangen soll. Sie haben mir den Hinweis gegeben, dass ich das

m

Variabel machen soll. Wie würde das gehen? Ich würde jetzt vermuten, dass ich das

m

als Grenze eintrage, da das

m

letztendlich bestimmt wo die zweite Grenze sein wird. Also so:

\int_{0}^{m} g (x) - f (x)

Aber ich bin mir jetzt nicht sicher, ob ich das richtig verstanden habe oder das totaler Quatsch ist, was ich da mache. Ich möchte Sie da eigentlich nicht weiter bedrängen, aber falls Sie mir nochmal helfen könnten wäre das super!

Mfg Cyberbat

Roman-22

21:22 Uhr, 21.06.2016

Woher nimmst du deine oberen Integralgrenzen?
Zumindest die 3 für

m = - 3

ist falsch.
Die Fläche

\frac{9}{2}

wäre für

m = - 1

richtig.

Jedenfalls ist die obere Integralgrenze nicht

m

oder

- m

.
Sieh dir doch deine Zeichnung an. Die obere Integralgrenze ist doch die x-Koordinate des zweiten Schnittpunkts der Geraden mit der Parabel. Und den musst du eben in Abhängigkeit von

m

bestimmen!

Deine Schreibweise mit

= d x

ist auch irritierend/falsch

\int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x = . .

Cyberbat aktiv_icon

21:47 Uhr, 21.06.2016

Ich glaube ich habe mich eben vertippt. Ich habe die Funktion

f (x) = x^{2} - 4 x + 4

in meinen graphischen Taschenrechner eingegeben. Die Funktion

g (x) = m \cdot x + 4

habe ich ebenfalls eingegeben, aber für

m

habe ich unterschiedliche Werte eingesetzt. Also

g (x) = - 1 \cdot x + 4

und

g (x) = - 2 \cdot x + 4

.

Bei

g (x) = - 1 \cdot x + 4

habe ich auf dem Rechner den Schnittpunkt bei 3 gehabt, bei der anderen

g (x) = - 2 \cdot x + 4

den Schnittpunkt bei 2. Diese habe ich jeweils als obere Grenze verwendet und als untere Grenze 0 da dieser Schnittpunkt gleich bleibt.

Dann habe ich jeweils die Stammfunktion gebildet und bei beiden das Integral ausgerechnet. Bei

m = - 1

habe ich das Ergebnis

\frac{9}{2}

FE und bei

m = - 2

das Ergebnis

\frac{4}{3}

FE.

Also die zweite Grenze steht immer in Abhängikeit mit

m

. Aber ich weiß leider immer noch nicht wie ich auf die Lösung komme

m

so zu setzten, dass ich 1 FE rausbekomme.

Tut mir leid falls ich mich unverständlich ausdrücke, mit Mathe habe ich irgendwie Probleme.

Mfg Cyberbat

Roman-22

22:09 Uhr, 21.06.2016

>

Bei g(x)=−1⋅x+4 habe ich auf dem Rechner den Schnittpunkt bei 3
Ja, für

m = - 1

war deine Rechnung ja auch richtig.

Und jetzt leg den TR beiseite und bestimme den Schnittpunkt "zu Fuß". Denn vermutlich kann dein Taschenrechner mit einer Variablen

m

in der Rechnung nichts anfangen. Du musst dazu nicht mal eine Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung benutzen, da du hier

x

ausklammern und dann die Lösungen mithilfe des "Produkt-Null-Satzes" sofort angeben kannst (eine ist eben immer

x_{1} = 0)

Wo schneidet also die Parabel die Gerade

y = m \cdot x + 4

. Eine Lösung ist natürlich immer der Punkt

S_{1} (0 / 4),

der zweite Schnittpunkt ist aber von

m

abhängig und du benötigst nur den x-Wert des zweiten Schnittpunkts. Der y-Wert dieses Punkts (er wäre

y_{S_{2}} = m^{2} + 4 m + 4)

ist für die Aufgabe unerheblich und muss nicht berechnet werden.

R

Cyberbat aktiv_icon

22:32 Uhr, 21.06.2016

Okay, ich komme im Moment zwar immer noch nicht auf die Lösung, aber ich werde mir das morgen zusammen mit ihren Hinweisen nochmal anschauen. Ich will Sie da jetzt auch nicht mehr weiter stören, ist ja schon spät ;-)

Aber trotzdem vielen Dank für ihre Hilfe!

Mfg Cyberbat

Roman-22

23:30 Uhr, 21.06.2016

Kein Problem.
Und wenn ich nicht mehr online bin oder keine Lust mehr habe, dann merkst du das ohnedies an der Nicht-Antwort ;-)

Kleiner Tipp noch:

Um den Schnitt der Parabel

y = x^{2} - 4 x + 4

mit der Geraden

y = m \cdot x + 4

zu ermitteln, musst du (ich hoffe, dass du das ohnedies weißt) gleichsetzen, also die Gleichung

x^{2} - 4 x + 4 = m \cdot x + 4

nach

x

auflösen.

R

willyengland aktiv_icon

09:24 Uhr, 23.06.2016

Moin,

mich würde hier noch mal die Lösung interessieren.
Ich habe für den Schnittpunkt

x = 4 + m

.

Wenn ich nun aber damit die Integrale berechne, bekomme ich ja Terme mit

m^{3}, m^{2}

usw.
Wie komme ich damit auf m?

funke_61 aktiv_icon

10:11 Uhr, 23.06.2016

"Wenn ich nun aber damit die Integrale berechne, bekomme ich ja Terme mit

m^{3}, m^{2}

usw.
Wie komme ich damit auf m?"

genau, weil Du als obere Grenze Deines Integrals eben

(4 + m)

einsetzt.

m

ist eben die Variable, nach der die aus

1 = \int_{0}^{4 + m} m x + 4 - (x^{2} - 4 x + 4) d x

entstehende Bestimmungsgleichung für

m

aufgelöst werden soll.
;-)

Tip:
Ein wichtiges Zwischenergebnis ist

- \frac{{(4 + m)}^{3}}{3} + \frac{{(4 + m)}^{3}}{2} = 1

Lass "

{(4 + m)}^{3}

" so stehen (nicht ausmultiplizieren) und forme einfach nach

(4 + m)

um . . .

Als einzige reele Lösung ergibt sich daraus

m = \sqrt[3]{6} - 4

;-)

willyengland aktiv_icon

11:56 Uhr, 23.06.2016

Alles klar! Danke!

Kann man ja nicht ahnen, dass sich alles so schön wegkürzt! ;-)

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