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Integration durch Substitution mit sin,cos,...

Universität / Fachhochschule

Tags: Integration, Komplexe Analysis, Kosinus, Sinus, Substitution

 
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zitrone18

zitrone18 aktiv_icon

10:46 Uhr, 02.11.2011

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Hallo liebe Community,

bin gerade auf das Forum hier gestoßen und hoffe, dass mir hier geholfen werden kann.
Nun zu meinem Problem.

Folgende Funktion soll Integriert werden:
f(x)=1x2+1
Für mich ist klar, dass das Problem mit einer Substitution lösbar sein sollte.

Ich habe mich für die folgende Substitution entschieden:
x=-sin(y)⇒y=-sin(x)-1
dxdy=-cos(y)⇒dx=-cos(y)dy

weiter geht dann mit:

F(x)=∫(1x2+1dx)=∫(-cos(y)-sin(y)2+1dy), weil -sin(y)2+1=cos(y)2
F(x)=∫(-cos(y)cos(y)2dy)=∫(-1dy)=[-y]=sin(x)-1

Meine Frage ist nun, ob das so korrekt ist... Ich bin mir nicht sicher, ob meine Ahnahmen und Ausführungen so möglich sind.

Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen,
Zitrone18

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
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anonymous

anonymous

11:43 Uhr, 02.11.2011

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Hi,

ich würde den Ansatz über die hyperbolischen Funktionen wagen sprich,

x=cosh(t)
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Edddi

Edddi aktiv_icon

12:21 Uhr, 02.11.2011

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...egal, wie du x subst. (wenn nicht komplex), dann ist x2 nun mal IMMER positv.

mit x=-sin(y) ist x2=+sin2(y) und NICHT -sin2(y)

Dann wirds auch nix mit sin2(y)+cos2(y)=1

Der Ansatz von Abakus ist zu wählen, da hier ja gilt:

cosh2(y)-sinh2(y)=1

dann passt's auch mit cosh2(y)=1+sinh2(y)

;-)
zitrone18

zitrone18 aktiv_icon

13:14 Uhr, 02.11.2011

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ok dann legen wir mal los:
f(x)=1x2+1
F(x)=∫(1x2+1dx)
x=sinh(y)⇒x2=sinh2(y)⇒dxdy=cosh(y)⇒dx=cosh(y)dy
y=sinh-1(y)

F(x)=∫(1x2+1dx)=F(x)=∫(cosh(y)sinh2(y)+1dy)=F(x)=∫(cosh(y)cosh2(y)dy)=∫(1dy)=[y]=sinh-1(y)

so müsste es passen oder?
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