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Inverse einer Matrize mit Winkelfunktionen bilden

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: invers, Kosinus, Matrizenrechnung, Sinus, Winkelfunktion

 
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Kimono

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10:22 Uhr, 12.03.2014

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Einen schönen guten Morgen! :-)

Ich komme gerade bei einer Aufgabe nicht weiter, weil ich nicht weiss, wie ich die Inverse einer Matrize (siehe Bild) mit Winkelfunktionen erstellen soll. Mein Lösungsansatz findet sich ebenfalls auf dem Bild. Weiter ist mir der Pythagoras bekannt: cos2(α)+sin2(α)=1 Aber ich weiss nicht, ob und wie ich das hier (richtig) anwenden soll.

Ich wäre wirklich froh, um einen Lösungsansatz.

Danke schon mal im Voraus!

lg

Ps.: Wie erstellt man denn hier Matrizen?

P1000550
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)

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Respon

Respon

10:48 Uhr, 12.03.2014

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Bei einer so einfachen Matrix kann man sich leicht an die Regel halten:
Determinante bestimmen (D=1)
Matrix entlang der Hauptdigonale "stürzen"
Inverse Matrix ist dann 1/D*Matrix der jeweiligen Adjunkten.
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Respon

Respon

10:50 Uhr, 12.03.2014

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Hier eine Zusammenfassung der Regeln:
http//de.wikipedia.org/wiki/Regul%C3%A4re_Matrix#Adjunkte
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Bummerang

Bummerang

10:51 Uhr, 12.03.2014

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Hallo,

... oder man macht das mit dem Gauss, wie man es sonst auch macht. Ich mache das mal ausführlichst mit eigentlich unnötigen Zwischenschritten vor:

(cos(α)-sin(α)sin(α)cos(α))|(1001)

Die erste Zeile wird mit sin(α) durchmultipliziert, die zweite mit cos(α)

(cos(α)⋅sin(α)-sin2(α)sin(α)⋅cos(α)cos2(α))|(sin(α)00cos(α))

Jetzt subtrahiert man die erste Zeile von der zweiten Zeile

(cos(α)⋅sin(α)-sin2(α)0cos2(α)+sin2(α))|(sin(α)0-sin(α)cos(α))

Anwenden des trigonometrischen Pythagoras ergibt:

(cos(α)⋅sin(α)-sin2(α)01)|(sin(α)0-sin(α)cos(α))

Jetzt teilen dividieren wir aus der ersten Zeile das sin(α) wieder raus und multiplizieren die zweite Zeile mit sin(α)

(cos(α)-sin(α)0sin(α))|(10-sin2(α)cos(α)⋅sin(α))

Nun addieren wir diem letzte Zeile zur ersten:

(cos(α)00sin(α))|(1-sin2(α)cos(α)⋅sin(α)-sin2(α)cos(α)⋅sin(α))

Anwenden des trigonometrischen Pythagoras

(cos(α)00sin(α))|(cos2(α)cos(α)⋅sin(α)-sin2(α)cos(α)⋅sin(α))

Jetzt teilen wir erste Zeile durch cos(α) und zweite Zeile durch sin(α) und sind schon fertig:

(1001)|(cos(α)sin(α)-sin(α)cos(α))

Wenn man geübter ist, kann man auch die Kurzform nehmen:

(cos(α)-sin(α)sin(α)cos(α))|(1001)

Subtrahiere das sin(alpha)-fache der ersten Zeile vom cos(alpha)-fachen der zweiten Zeile:

(cos(α)-sin(α)0cos2(α)+sin2(α))|(10-sin(α)cos(α))

Anwendung des trigonometrischen Pythagoras

(cos(α)-sin(α)01)|(10-sin(α)cos(α))

Addiere das sin(alpha)-fache der zweiten Zeile zur ersten Zeile:

(cos(α)001)|(1-sin2(α)sin(α)⋅cos(α)-sin(α)cosα))

Anwendung des trigonometrischen Pythagoras

(cos(α)001)|(cos2(α)sin(α)⋅cos(α)-sin(α)cos(α))

Erste Zeile durch cos(α) teilen

(1001)|(cos(α)sin(α)-sin(α)cos(α))
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Kimono

Kimono aktiv_icon

12:06 Uhr, 12.03.2014

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Tausend Dank!!!
Frage beantwortet
Kimono

Kimono aktiv_icon

12:06 Uhr, 12.03.2014

Antworten
Tausend Dank!!!