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Nullstellen beweisen
Universität / Fachhochschule
Funktionentheorie
Tags: Funktionentheorie, Grenzwert, Nullstellen
 
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Hi Leute! Ich hab folgende Aufgabe: Gegeben sei die Funktion mit Zeigen Sie: Die Funktion hat im Intervall I genau eine Nullstelle. Nun hab ich in "0" und "1" eingesetzt. Dabei kommt als Funktionswert 1 und raus. Daraus kann man folgern dass der Graph MINDESTENS eine Nullstelle haben muss. Ich hab dann noch gebildet. Ich weiß, dass man damit GENAU zeigen kann, dass es nur eine Nullstelle geben kann, aber ich weiß nicht wie Könnt ihr mir helfen? danke, bandchef Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff) Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff) Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff) Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff) Wichtige Grenzwerte Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten Allgemeine Sinusfunktion Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen Grenzwerte im Unendlichen Nullstellen Ableiten mit der h-Methode Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten Allgemeine Sinusfunktion Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen Grenzwerte im Unendlichen |
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hallo, mit kannst du feststellen, wo mögliche extrema deiner funktion liegen. das wird null wenn oder . zwischen 0 und 4 ist die funktion also monoton steigend oder fallend. damit weisst du dass da nur eine Nullstelle zwischen 0 und 1 existieren kann. lg |
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So danke für deine Antwort: Wenn ich nun aber noch alle reellen Nullstellen, also nicht nur die, die im Intervall liegen, suchen soll? Was mach ich dann? Ich hab dann mal von den Limes gegen - Unendlich und Unendlich gemacht. Dabei hab ich dann das Ergebnis - Unendlich und Unendlich bekommen. Wie zeige ich weiter wieviele Nullstellen die Funktion wirklich hat? danke, bandchef |
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Wegen ist klar, dass in den Intervallen und jeweils mindestens eine Nullstelle liegt. Das wären schon ein al drei reelle Nullstellen. Aber zwischen zwei reellen Nullstellen von liegt immer eine Nullstelle von . Da nur zwei Nullstellen hat, kann nicht mehr als drei reelle Nullstellen haben |
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@hagman: Es heißt aber schon: oder? |
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Ja, statt 4 erscheint nur, wenn man mit dicken Fingern tippt. :-) |
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Wenn ich nun alle Nullstellen bewiesen haben möchten, dann hab ich mal den und gemacht. Wie gehts jetzt weiter, dass ich auf 3 Nullstellen schließen kann? Eine Nullstelle hab ich ja schon mit bewiesen. Aber da sind ja noch zwei andere! @hagman: Es geht aber schon um die Intervalle oder? In den Intervallen und sagst du selber dass "mindestens eine Nullstelle" liegt; aber genau weiß man es ja trotzdem nicht. Wie bekommt man es an den Randintervallen definitiv raus wieviel Nullstellen es gibt? danke, bandchef |
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Ich habe hier offene Enden von Intervallen mit runden Klammern geschrieben. Es gibt in der LIteratur auch die Schreibweise mit umgedrehten eckigen Klammern, ja. Also nochmal: Allein aufgrund der Vorzeichenwchsel sehen wir, dass es in und in und in jeweils mindestens eine Nullstelle gibt. Gäbe es in einem dieser drei Intervalle jedoch mehrere Nullstellen (oder auch eine mehrfache Nullstelle), so hätte die Ableitung zwischen zwei solchen Nullstellen (bzw. an der mehrfachen Nullstelle) eine Nullstelle. Die Nullstellen von sind jedoch alle bekannt und und in obigen Intervallen liegt keine davon. Also enthält jedes der drei Intervalle auch höchstens eine Nullstelle. Allgemein: Eine stetig differenzierbare Funktion hat höchstens eine Nullstelle mehr als . |
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