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Parabel anhand der Parabelgleichung zeichnen.

Schüler Realschule, 10. Klassenstufe

Graphische Lösung quadratischer Gleichungen

Tags: Graphische Lösung quadratischer Gleichungen, Parabel, Parabelgleichung, Schnittpunkt

KannKeinMahte aktiv_icon

15:48 Uhr, 10.01.2011

Hi,

ich hab eine Aufgabe vor mir, in der ich den Schnittpunkt einer Gerade und einer Parabel zeichnen und ausrechnen soll.

Die Aufgabenstellung ist

g : y = 0,5 x - 1

f : y = x^{2} - 4

soweit so gut...jetzt kommen meine Probleme ;-) 1. Wie zeichne ich nochmal eine Parabel?.. muss ich da nicht die Mitternachtsformel oder so verwenden?..
2. Wie berechne ich einen Schnittpunkt??

Natürlich will ich keine Lösung haben :-D) das bringt mir in der Abschlussprüfung schließlich nicht viel.^^

Danke schonmal im vorraus :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung
Schnittpunkte bestimmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
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KannKeinMahte aktiv_icon

15:55 Uhr, 10.01.2011

einsetzungsverfahren oder wie das heist?...also

0 = 0,5 x - 1

1 = 0,5 x

2 = x

aber da fehlt ja immernoch was?..

Edddi aktiv_icon

16:00 Uhr, 10.01.2011

1. Parabel zeichnen.

Stell' die Parabelgleichung in Scheitelpunkt form dar (quadr. Ergänzung), dann kannst du die Verschiebung der Normalparabel

y = x^{2} \in x -

und y-Richtung direkt ablesen bzw. mit einem entspr. Formlineal zeichnen.

Beispiel:

y = x^{2} + 3 x + 4

y = {(x + \frac{3}{2})}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2} + 4

y = {(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4} + \frac{16}{4}

y = {(x + \frac{3}{2})}^{2} + \frac{7}{4}

...hier ist die Normalparabel entlang der x-Achse um

- \frac{3}{2}

verschoben (die Verschiebung auf der x-Achse erfolgt in negativer Richtung!) und entlang der y-Achse um

\frac{7}{4} .

Achtung, hast du vor

x^{2}

noche einen Faktor, so muss die Normalparebel auch noch entspr. gestreckt werden.

2. Berechne Schnittpunkt(e)

...du musst einfach beide Gleichungen gleichsetzen:

x^{2} - 4 = \frac{x}{2}

damit:

x^{2} - \frac{x}{2} - 4 = 0

...nun Nullstellen an Scheitelpunktform ablesen oder p-q-Formel

;-)

KannKeinMahte aktiv_icon

16:10 Uhr, 10.01.2011

Danke für deine Hilfe. Ich denke jedoch das ich ein recht aussichtsloser Fall bin.

: (

Ich hab da nur Bahnhof verstanden...

bei mir gibt es garkein

x^{2}

also ich hab da auch so eine witzige Formel in meinem Heft gefunden..

S (- \frac{P}{2} - \frac{P}{4} + q)

hat das irgendendwas mit deinem Bahnhof zu tun?

Edddi aktiv_icon

07:47 Uhr, 11.01.2011

...du hättest mal die Formel richtig von der Tafel abschreiben müssen!

So, ich zeig's dir mal jetzt mit Parametern

p

und

q

statt mit Zahlen, aber du kannst dir

p

und

q

natürlich einfach wie Zahlen behandeln.

Du hast also eine Normal-Parabel-Gleichung der Form

y = x^{2} + p \cdot x + q

Nun führen wir eine quadratische Ergänzung durch (ich rechne was dazu und zieh's dann gleich wieder ab (ist also beides

0) :

y = x^{2} + p \cdot x [+ \frac{p^{2}}{4} - \frac{p^{2}}{4}] + q

Nun kann man das ganze auch so sehen:

y = [x^{2} + p \cdot x + \frac{p^{2}}{4}] - \frac{p^{2}}{4} + q

...der Ausdruck in den eckigen Klammern lässt sich gemäß binomischer Formel zusammenfassen:

y = {[x + (\frac{p}{2})]}^{2} - \frac{p^{2}}{4} + q

Dies ist die sogenannte Scheitelform, da du hier sofort en Scheitelpunkt ablesen kannst.

S (x; y) = S (- \frac{p}{2}; (- \frac{p^{2}}{4} + q))

...sieht etwas anders aus wie deins, 'ne?

Wieso kann man nun jier den Scheitel ablesen, und vor allen Dingen, warum wurde der Wert für

x

negiert?

Das hat mit den allgemeinen Verschiebungsregeln von Funktionen zu tun.

Angenommen, du hast eine Normalparabel (diese kannst du ja mit Hilfe eines entschpr. Formlineales zeichnen).
Diese Parabel setzt du ja genau auf die Mitte des Koordinatensystems

(0; 0)

. Dort liegt also der Scheitel, der tiefste Punkt der Parabel.

Willst du diese nun nach LINKS

(\in

-x-Richtung) um sagen wir mal 2 verschieben, so musst du den Funktionswert

f (x),

der sonst ja bei

x

abgebildet ist eben bei

(x - 2)

abtragen. Also der Scheitel liegt dann nicht mehr bei 0 sondern bei

- 2

. Und bei

x = 0

haben wir den Funktionswert, der vorher bei 2 war. Also die

4 .

Die Verschiebung nach LINKS um 2 drückt sich aus durch

f (x + 2),

weil an Stelle

x

der Funktionwert von

x + 2

abgebildet wird (der also 2 RECHTS davon liegt.

So auch in diesem Beispiel.

y = x^{2} -

ist die Standard-Normal-Parabel.

y = {(x + (\frac{p}{2}))}^{2} -

ist die um

- \frac{p}{2}

auf derx-Achse verschobene Standard-Normal-Parabel.

Somit liegt der Scheitelpunkt also bei

S (- \frac{p}{2}; 0)

Verschiebt man nun widerum noch diese Funktion entlang der y-Achse, so ist zu JEDEM Funktionswert ein entsprechneder Betrag

n

hinzuzurechnen oder abzuziehen.

Dies sieht dann so aus:

y = {(x - (\frac{p}{2}))}^{2} + n

(Wenn das

n

negativ ist, geht's halt ab nach unten in -y-Richtung)

Für unsere Funktion

y = {[x + (\frac{p}{2})]}^{2} - \frac{p^{2}}{4} + q

bedeutet dies, das die um

- \frac{p}{2}

in x-Richtung verschobene Normal-Parabel um

(- \frac{p^{2}}{4} + q)

entlag der y-Achse verschoben wird. Damit wird auch der Scheitel um diesen Betrag verschoben und befindet sich demnach dann bei:

S (- \frac{p}{2}; - \frac{p^{2}}{4} + q)

So, nun hast du die Grundlagen, und nun zeig' ich's dir auf die kurze Weise:

y = x^{2} + p \cdot x + q

... \in

Scheitelform bringen, indem du nur das

p

halbieren musst!

y = {(x + \frac{p}{2})}^{2} - {(\frac{p}{2})}^{2} + q

Scheitelpunkt ablesen:

S (- \frac{p}{2}; - \frac{p^{2}}{4} + q)

so, nun nur noch an diesem Punkt die Parabel zeichnen und fertig!

Beispiel:

x^{2} + 3 x + 4

{(x + \frac{3}{2})}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2} + 4

S (- \frac{3}{2}; \frac{7}{4})

sollte mal sowas vorkommen:

- x^{2} + 2 x - 9

dann machst du folgendes:

= - (x^{2} - 2 x + 9)

...jetzt von dem Klammerterm den Scheitel ausrechnen

(\in

den Klammern machst du genau das, was wir davor auch gemacht haben):

= - ({(x - \frac{2}{2})}^{2} - {(- \frac{2}{2})}^{2} + 9)

= - (S (1; 8))

..das Minus bedeutet jetzt nicht weiter, als dass der Punkt an der x-Achse gespiegelt wird (Der y-Wert des Punktes muss also NUR negiert werden):

= - (S (1; 8)) = (S (1; - 8))

...so, nun kannst du loslegen.

;-)

KannKeinMahte aktiv_icon

16:35 Uhr, 12.01.2011

Wow..du kannst mathe... ich hab es zwar nicht verstanden so wirklich...aber immerhin die aufgabe gelöst..ich werd mir das morgen in der schule mal anschauen..wie die lösung da ist.. vielen dank für die wirklich ausführliche antwort :-)

Edddi aktiv_icon

07:43 Uhr, 13.01.2011

...Beachte bitte, das ich deine Aufgabe NICHT gelöst habe, sondern eine "Beispiel"-Aufgabe!!!!

Das Ergebnis wird NICHT mit dem Ergebnis in der Schule übereinstimmen!!!

;-)

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