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Partielle Integration cos(mx)*cos(nx)

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Kosinus, Sinus

KleenEule aktiv_icon

16:19 Uhr, 23.06.2012

Hallo ihr Lieben,

Ich habe folgende Aufgabe:

Zeigen Sie , dass das Integral

\int_{0}^{2 Π}

(cos(mx)*cos(nx))

d x

für

m \neq n 0

ergibt.

Wir sollten unbedingt mit der partiellen Integration arbeiten.
Also dann zeig ich euch was ich habe:

u =

cos(mx) v'=cos(nx)

u' =

-msin(mx)

v = \frac{1}{n}

*sin(nx)

\int_{0}^{2 Π}

(cos(mx)*cos(nx))dx = cos(mx)*

\frac{1}{n}

sin(nx)

- \int

(-msin(mx)*

\frac{1}{n}

sin(nx)

d x

=cos(mx)

\cdot \frac{1}{n}

sin(nx)

+ \frac{m}{n} \int

sin(mx) *sin(nx)

d x

u =

sin(mx) v'=sin(nx)

u' =

m*cos(mx)

v = - \frac{1}{n}

cos(nx)

= cos(mx)*

\frac{1}{n}

sin(nx)

+ \frac{m}{n} \cdot

(sin(mx)

- \frac{1}{n}

cos(mx)

- \int

m*cos(mx)

- \frac{1}{n}

cos(nx)

d x)

= cos(mx)*

\frac{1}{n}

sin(nx)

+ \frac{m}{n} \cdot

(sin(mx)

- \frac{1}{n}

cos(mx)

+ \frac{m}{n} \int

cos(mx)

+

cos(nx)

d x)

= cos(mx)*

\frac{1}{n}

sin(nx)

+ \frac{m}{n} \cdot

sin(mx)

- \frac{m}{n^{2}}

cos(mx)

+ \frac{m^{2}}{n^{2}} \int

cos(mx)

+

cos(nx)

d x)

Naja und das endet ja quasi in einer endlosschleife. Ich vermute mal das es irgendwas mit dem

\frac{m^{2}}{n^{2}} \cdot \int

cos(mx)

+

cos(nx)

d x

zu tun hat.

Kann mir da jmd helfen? Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

rundblick aktiv_icon

17:10 Uhr, 23.06.2012

das ist ja reichlich konfus, was du hier anbietest:

wenn der Integrand so aussieht: (cos(mx)+cos(nx))
dann ist da weit und breit kein Produkt, das die partielle Integration nahelegen würde

und falls du (cos(mx)

\cdot

cos(nx)) integrieren wolltest,
kannst du das schnell auf eine Summe zurückführen :
es ist zB

2 \cdot cos (γ) \cdot cos (δ) = cos (α) + cos (β)

(wobei

α = γ + δ

und

β = γ - δ)

KleenEule aktiv_icon

17:11 Uhr, 23.06.2012

Ach damn... .Sry die Ausgangssituation ist

\int_{0}^{2 Π}

cos(mx)*cos(nx)

d x

Sry Umschalttaste hat nicht funktioniert :-D) Sogar gleich 2 mal lol :-D)

Naja unser Professor verlangt wirklich das wir über die partielle Integration gehen mit dem Hinweis , dass ein gewisses Vielfaches des Integrals iwann verschwindet

rundblick aktiv_icon

17:25 Uhr, 23.06.2012

na ja -

dann schreib dir halt die einzelmnen Schritte richtig auf (dort wo nötig mit Malzeichen)
vielleicht siehst du dann, dass nach zwei Schritten oder so
" ein gewisses Vielfaches des Integrals iwann verschwindet"

wobei du ein Augenmerk auch darauf richtest, was denn von Beginn weg links vom "=" herumsteht
- und was vielleicht rechts eben irgendwann iwie auch wieder auftaucht
und da kannst du dann sowas wie "zusammenfassen" und schauen, was rechts dann noch steht

aber wie gesagt:
ohne korrekte, ordentliche und saubere Darstellung wird sicher keiner durchblicken...

und dann kannst du ja trotzdem noch zusätzlich den einfacheren Weg versuchen?

KleenEule aktiv_icon

17:40 Uhr, 23.06.2012

Ich werde gleich nochmal alles sauber und ordentlich aufschreiben.
Hatte 'ne ähnliche Vermutung wie du es gerade schon sagst ;-)
Ich melde mich aber erst ca.

20

Uhr nochmal, entweder das ich es gelöst habe oder immernoch vor einem Rätsel stehe ABER mit einer sauberen Notation ;-)

Danke schonmal !

KleenEule aktiv_icon

20:20 Uhr, 23.06.2012

Naja ich nehme nun eine einfachere Variante, weil die partielle Integrations"kacke" klappt nicht.

Habe nun:

\int_{0}^{2 Π}

cos(mx)*cos(nx)dx

= \frac{1}{2} \int_{0}^{2 Π} cos ((m - n) \cdot x) + cos ((m + n) \cdot x) d x = \frac{1}{2} {[(\frac{1}{m - n}) \cdot sin ((m - n) \cdot x) + (\frac{1}{m + n}) \cdot sin ((m + n) \cdot x)]}_{0}^{2 Π}

Und da

n, m \in ℕ

muss der Term 0 ergeben (Begründung grob zusammengefasst).

Mir ist egal ob's dem Prof passt oder nicht, für mich ist es logisch und ein alter Tutor gibt mir auch Recht.

Schönen Abend noch

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