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Tangente von Gerade und Parabel mit Parameter

Schüler Berufliches Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Gerade, Parabel, Parameter, Tangent

Murmelchen09 aktiv_icon

15:20 Uhr, 29.03.2010

Hallo Leute,
Ich schreibe demnächst eine Mathearbeit und habe da noch 3 Aufgaben die ich nicht rausbekommen. Ich hab zu allen die Lösungen,komm aber irgendwie nicht drauf :-D)

1.
Ich habe eine Parabel mit y=(x-2)²+1 und eine Gerade mit

y = t (x - 3) - 2

Da soll ich jetzt den Berührpunkt der Gerade mit der Parabel ausrechnen. Ich weiß das ich das gleichsetzen muss und dann in Quadratische gleichung einsetzen muss und so. Aber ich komm mit dem Parameter

t

nicht klar :-D).

Lösung:

B 1 (1; 2) B 2 (5; 10)

2. Parabel

P

mit y=x²-x+1

a)

Welche Ursprungsgeraden berühren die Parabel P? Bestimmen sie die Koordinaten der Berührpunkte und die Gleichung der Geraden.
Lösung:

B 1 (1; 1)

und

B 2 (- 1; 3)

b)

Bestimmen sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte von Parabel

P

und einer Ursprungsgeraden in Abhängigkeit von der Steigung

m

. Verwenden sie das Ergebnos der Teilaufgabe

a)

.

keine Schnittpunkte für

- 3 < m < 1

1 Schnittpunkt für

m = - 3

oder

m = 1

2 Schnittpunkte für

m < - 3

oder

m > 1

und noch 3.
Gegeben ist die Parabel

P

mit der Gleichung y=-x²+2x+3
Legen sie von

A (0; 7)

aus Tangenten an die Parabel

P

.
Bestimmen sie die Berührpunkte und geben sie die Gleichung der Tangenten an.
Zeichnen sie die Parable und die Tangenten in ein geeignetes Achsenkreuz.

t 1 = 6

B 1 (- 2; - 5)

t 2 = - 2

B 2 (2; 3)

Wär echt toll von euch wenn ihr mir den Rechenweg aufschreiben könntet. Die Lösungen hab ich ja schon :-D)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung
Tangente (Mathematischer Grundbegriff)
Sekante (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)

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Ramanujan aktiv_icon

16:06 Uhr, 29.03.2010

1)

Du sollst den Berührpunkt bestimmen, somit ist die Gerade eine Tangente an der Parabel. Du setzt die Funktionen gleich, also:

x^{2} - (4 + t) \cdot x + (7 + 3 \cdot t) = 0

x_{1; 2} (t) = \frac{4 + t}{2} \pm \sqrt{{(\frac{4 + t}{2})}^{2} - (7 + 3 \cdot t)}

Und da es ja ein Berührpunkt sein soll(Tangente) und keine Sekante oder Passante, muss der Wuzelterm gleich Null sein, ansonsten gäbe es mehrere Lösungen:

{(\frac{4 + t}{2})}^{2} - (7 + 3 \cdot t) = 0,

dann machst du

p

.q.Formel und so weiter, und bekommst 2 Werte für

t

und setzt diese in

x_{1; 2} (t)

ein und bekommst deine x-Koordinaten der Berührpunkte.

... .

Ramanujan aktiv_icon

16:09 Uhr, 29.03.2010

. .

.
Dasselbe machst du auch bei

2 a)

Du weißt, dass die Ursprungsgeraden die Funktionsgleichung g(x)=tx haben, da sie ja durch den Nullpunkt gehen.
Du setzt die beiden Funktionen gleich

\to g (x)

ist tangente an

P (x)

aufghrund des Berührpunktes, löst nach

x_{1; 2} (t)

auf, wobei das unter der Wurzel 0 sein muss, dann bekommst du wieder 2 Werte für

t

und so weiter....

Ramanujan aktiv_icon

16:15 Uhr, 29.03.2010

Bisher musstest du das unter der Wurzel immer bei

x_{1; 2} (t)

gleich Null setzen, da es sich ja um eine tangente handeln sollte.
Nun musst du schauen, für welche

t

das unter der Wurzel kleiner oder größer Null ist....

Ramanujan aktiv_icon

16:17 Uhr, 29.03.2010

Verstehst du das?
Wenn nicht, dann ist derartiges sinnlos?

artiiK aktiv_icon

16:29 Uhr, 29.03.2010

zur 1. aufgabe.. es ginge auch g(x)= f'(

x_{0}

)(x-

x_{0}

)+f(

x_{0})

wobei g(x)= t(x-3)-2
und f(x)=(x-2)²+1 und ferner f'(x)=2x-4
Dann nach

x_{0}

auflösen.

Murmelchen09 aktiv_icon

16:33 Uhr, 29.03.2010

Zur Nummer eins:

Also ich habs jetzt geschafft die so umzufromen das ich auf die Formeln die du mir gegeben hast gekommen bin.

So dann hab ich ja (4+t²)/2-(7+3t)

Ich versteh dann aber nicht wirklich wie ich weitermachen muss :-D)
Ich muss doch dann die Klammer mit dem Quadrat ausrechnen und dann eben zusammenfassen oder? Also wenn ich das mach kommt raus: 0=t²+3t+9 Aber dann kommt ja minus unter der wurzel raus xD Also ist das wohl falsch :-D) könntest mir den lösungsweg mal aufschreiben?
Danke

=)

Murmelchen09 aktiv_icon

16:52 Uhr, 29.03.2010

Die

2 a

habe ich aber die

2 b

Bekomm ich dann nicht hin :-D)
Ist die Ursprungsgerade dann:

y = x + m

und

y = - 3 x + m

???
Und dass dann mit

P

gleichsetzen und das mit der pq Formel auflösen und dann wüsst ich schon weirter. Das ist dann mit der Diskriminanten. Aber ich bekomme für

m

überall null raus

= (

Ramanujan aktiv_icon

11:22 Uhr, 30.03.2010

Nein, da kommt raus:

{(\frac{4 + t}{2})}^{2} - (7 + 3 t) = 0;

erst die Klammer ausrechnen(1.binomische Formel)

\Leftrightarrow (\frac{t^{2} + 16 + 8 t}{4}) - 3 t - 7 = 0;

mit 4 multiplizieren

\Leftrightarrow t^{2} + 8 t - 12 t + 16 - 28 = 0;

zusammenfassen

\Leftrightarrow t^{2} - 4 t - 12 = 0

pq-Formel:

t_{1; 2} = 2 \pm 4

t_{1} = 6

t_{2} = - 2

Du weißt noch, dass

x_{1; 2} (t) = \frac{4 + t}{2} \pm \sqrt{... .},

wobei das unter der Wurzel 0 sein muss, also

x_{1; 2} (t) = \frac{4 + t}{2}

jeddoch damit dies so ist musstest du erst

t

ausrechnen und aus rausbekommen

t_{1} = 6

und

t_{2} = - 2

.
Jetzt setzt du einfach beide Werte ein in

x (t) \to x (6) = 5

und

x (- 2) = 1,

somit hast du die x-Koordinaten der Berührpunkte,

x_{1} = 5

und

x_{2} = 1

. Nun musst du noch die y-Koordinaten der Berührpunkte bestimmen, dafür einfach

x_{1}

und

x_{2}

in die Ausgangsgleichung

f (x)

einsetzen, also entweder in die Parabelgleichung oder die lineare Gleichung, wir setzen sie in die Parabelgleichung ein:

p (5) = 10

und

p (1) = 2,

somit hast du die Koordinaten der Berührpunkte:

B_{1} (5; 10)

und

B_{2} (1; 2)

. Fertig....

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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