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Taylorreihe sin(x/2) und cos(x/2)

Schüler , 12. Klassenstufe

Tags: Kosinus, Sinus, Taylorreihe

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maroni15

maroni15 aktiv_icon

16:48 Uhr, 18.12.2012

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Hallo!
Ich habe die Taylorreihe für

s i n (\frac{x}{2})

und

c o s (\frac{x}{2})

bestimmt, kann mir bitte jemand sagen ob das richtig ist?
Wenn nicht, bitte uch dazusagen, wo der Fehler ist.
Danke!

f (x) = s i n (\frac{x}{2})

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} * x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} = x - \frac{x^{3}}{8 * 3!} + \frac{x^{5}}{32 * 5!} - . . .

und

f (x) = c o s (\frac{x}{2})

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} * x^{2 n}}{(2 n)!} = 1 - \frac{x^{2}}{4 * 2!} + \frac{x^{4}}{16 * 4!} - . . .

Danke!

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
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Rechenregeln Trigonometrie
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
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Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

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prodomo

prodomo aktiv_icon

17:16 Uhr, 18.12.2012

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Ok. Hier musst du nur den Faktor

\frac{1}{4}

berücksichtigen und kannst ansonsten die Reihe für

sin (x)

bzw.

cos (x)

als Vorbild nehmen.

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pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

17:16 Uhr, 18.12.2012

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Hallo,

kann es sein, dass Du bei den allgemeinen Summen ein

\frac{1}{2^{2 \cdot n + 1}}

bzw.

\frac{1}{2^{2 \cdot n}}

vergessen hast, was ja bei der Einzeldarstellung erscheint? Jedenfalls wäre es dann richtig.

Gruß pwm

maroni15

maroni15 aktiv_icon

17:38 Uhr, 18.12.2012

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Danke, das habe ich vergessen...
Wie berechne ich nunden Konvergenzradius

r = l i m_{n \to \infty} ∣ \frac{a_{n}}{a_{n} + 1} ∣

hier jetzt für cosinus

r = l i m_{n \to \infty} \frac{\frac{(- 1)^{n}}{2^{2 n} * 2 n!}}{\frac{(- 1)^{n + 1}}{2^{2 n} * 2 n! + 1}}

Stimmt das so?

Antwort

pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

17:51 Uhr, 18.12.2012

Antworten

Hallo,

wenn

a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{2^{2 \cdot n} \cdot (2 \cdot n)!}

ist,
dann ist

a_{n + 1} = \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{2^{2 \cdot n + 2} \cdot (2 \cdot n + 2)!}

Gruß pwm

maroni15

maroni15 aktiv_icon

18:21 Uhr, 18.12.2012

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wieso 2n+2?
2n ist klar aber wieso +2 und nicht +1?

Cosinus:

r = l i m_{n \to \infty} \frac{\frac{(- 1)^{n}}{2^{2 n} * 2 n!}}{\frac{(- 1)^{n + 1}}{2^{2 n + 2} * (2 n + 2)!}} =

= l i m_{n \to \infty} \frac{(- 1)^{n} * (2^{2 n + 2} * 2 n + 2!)}{(2^{2 n} * 2 n!) * (- 1)^{n}} =

dann kann man kürzen

= l i m_{n \to \infty} \frac{(2 n + 2)!}{2 n!}

Sinus:

r = l i m_{n \to \infty} \frac{\frac{(- 1)^{n}}{2^{2 n + 1} * (2 n + 1)!}}{\frac{(- 1)^{n + 1}}{2^{2 n + 3} * (2 n + 3)!}} =

= l i m_{n \to \infty} \frac{(- 1)^{n} * 2^{2 n + 3} * (2 n + 3)}{2^{2 n + 1} * (2 n + 1)! * (- 1)^{n + 1}}

wider kürzen

= l i m_{n \to \infty} \frac{(2 n + 3)}{(2 n + 1)!}

so richtig?

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