Vollständige Induktion mit Sinus und Kosinus

Hallo wir haben mal wieder eine schöne Aufgabe bekommen, bei der ich leider keine Ahnung habe.

wir sollen beweisen, dass:

${\displaystyle \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\times \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\times \mathrm{...}\times \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(2^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\frac{\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(2^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}{2^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}}$

dabei dürfen wir ohne zu beweisen folgendes benutzen:

sin(x+y)= sin(x)*cos(y)+sin(y)*cos(x)

Habe da natürlich die standart Vorgehensweise benutzt:

I.A n=0 --> cos(x) = sin(2x)/ 2sin(x) wahre Aussage

(meint ihr dass ich das beweisen muss?)

zu zeigen ist ja:

${\displaystyle \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\times \mathrm{...}\times \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(2^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\times \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(2^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\frac{\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(2^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}{2^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2}\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}}$

I.S.

${\displaystyle \frac{\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(2^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}{2^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}\times \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(2^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=}$

so und hier scheitere ich einfach an der Umformung. Bin leider nicht so gut in Mathe wenn Sinus,Cosinus und co ins Spiel kommen.

Wäre super wenn mir jemand helfen könnte.

hm also mit 2/2 erweitern soweit klar, aber warum ist

${\displaystyle 2\times \mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(2^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\times \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(2^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(2^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ ???

edit:

ah ok hat sich erledigt, das ist ja grade das was wir benutzen dürfen, nur ist x und y in diesem fall das Gleiche.

Vielen Dank für die Hilfe!