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Von den Nullstellen zur Polynomfunktion

Schüler Berufliches Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Linearfaktorsdarstellung, Nullstellen, Polynomfunktion

Cebe92 aktiv_icon

20:27 Uhr, 24.03.2010

Hallo,

ich hoffe ihr, könnt mir weiterhelfen ich frage mich nämlich die ganze Zeit, wie ich die Funktionsgleichung einer Funktion

(\in

der Polynomdarstellung) aufstellen kann, wenn die Nullstellen und der Grad der Funktion gegeben sind.

Bsp.:

n = 3

Nullstellen:

- 1,2,3

Ich weiß, dass man zuerst die Linearfaktordarstellung aufstellt:

f (x) = a (x + 1) (x - 2) (x - 3)

und dann dann ausmultiplizieren könnte, allerdings bekomme ich das mit dem Ausmultiplizieren nicht ganz hin, zumindest komme cih da nicht auf die
richtige Lösung

. .

.

Ich wär froh, wenn mir jemand erklären könnte,
wie man das ausmulipliziert bzw. auf die Lösung kommt

. .

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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anonymous

23:46 Uhr, 24.03.2010

Moin,
also eigentlich ist deine Erklärung komplett richtig: 3. Grades, Nullstellen bei

- 1,2

und 3. Also ist

f (x) = a \cdot (x + 1) \cdot (x - 2) \cdot (x - 3)

die zugehörige Funktionenschar. ("a" auszurechnen ist natürlich nicht möglich, aber wohl auch nicht deine Frage :-) ). Das Ausmultiplizieren funktioniert doch wie gewohnt, wo ist denn da das Problem? Hier liegen ja nichtmal binomische Formeln vor, bzw. wird das "Pascalsche Dreieck" nicht benötigt. Hier muss "Klammer-für-Klammer" berechnet werden:

f (x) = a \cdot (x^{2} - x - 2) \cdot (x - 3)

f (x) = a \cdot (x^{3} - 4 x^{2} + x + 6)

Bei doppelten (oder dreifachen...) Nullstellen etwa solltest du - um dir Arbeit zu ersparen - weitere Formeln anwenden, etwa:

5. Grades, dreifache Nullstelle

x = - 2,

doppelte Nullstelle bei

x = 1 :

f (x) = a \cdot {(x + 2)}^{3} \cdot {(x - 1)}^{2}

Hier liefert nun das Pascalsche Dreieck die Vorfaktoren

1,3,3,1

für

{(a + b)}^{3}

und

1,2,1

für

{(a + b)}^{2}

(bin. Formel). Berechnet wird also

f (x) = a \cdot (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 2 + 3 x \cdot 2^{2} + 2^{3}) \cdot (x^{2} - 2 \cdot 1 \cdot x + 1^{2})

f (x) = a \cdot (x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8) \cdot (x^{2} - 2 x + 1)

Nichtsdestotrotz muss nun alles ausmultipliziert werden:

f (x) = A \cdot (x^{5} + 4 x^{4} + x^{3} - 10 x^{2} - 4 x + 8)

Ich hoffe, ich konnte helfen.. Grüße, IP

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